一学就会的微积分

微积分的概念十分简单，大概是由于初等数学的知识点实在太多，才不得不把这一高等数学概念推迟到大学学习。为了把事情讲清楚，我们将去除所有复杂的细节，这样一来，描述便可能不够严谨，但却容易理解。

 

函数

如果存在这样一个法则，使得某一数集中的每个x值，都有一个确定的y值相对应，那么，y就是一个x的一个函数，记作y = f(x)。其中，x称为自变量，y称为因变量，而f就是这个法则。

举个例子：y = x - 1就是一个函数，y = 1 / x也是一个函数。

 

说明：

• 这里定义的函数是一元的，也就是说，只有一个自变量。同时，函数是单值的，也就是说，每个x值只有一个y值与之对应。我们不讨论更复杂的函数，一元单值函数已经足够用了。

• 符号x，y，f都是习惯用法，完全可以使用别的符号。比如，p = g(q)也可以表示一个函数。再比如，匀速直线运动中s = vt，其中自变量t，因变量s，而v是一个常量。
  

函数可以在直角坐标系中描绘成曲线，其中横坐标为x，纵坐标为y。比如，图中就是两个函数的曲线。注意，函数的取值可能是无限的，我们只能画出部分，但已经可以说明问题。

 

极限

有这样一个函数f(x)，其中一点x0，取一个任意小的正数ε，若总能保证函数在x0周围某一范围内所有的值都满足|f(x) - a| < ε，那么a就是函数f(x)在点x0的极限，记作：

说明:

• 正数ε是可以任意取的，也就是说，不管ε多小都行。

• a是一个常数，或者说是一个数值。如果找不到这样一个数值，则该函数在x0点没有极限。

• x0周围某一范围内，不包括x0本身，函数在这一点可以没有值。若函数在x0点连续，则f(x0)就是极限值。

• 符号lim是极限的意思，符号→是趋近的意思，这是固定的写法。这个式子的含义是，当x趋近于x0时，f(x)趋近于a，函数在x0点的极限值为a。

• 极限是一个趋近的过程，不能说成函数的极限，只能说函数在某一点的极限，更准确地说，是函数趋于某一点时的极限。

特别地，当一个函数在某点的极限为0时，称这个函数在该点是无穷小量，记作x→x0时，f(x)→0。注意，无穷小量是一个无限接近于0的变量，不是一个数值，更不等于0，而无穷小量的极限为0。

微分

顾名思义，微分就是细微地切分。将函数y = f(x)切分为很小的一段段，每一段的增量记为∆x和∆y。将∆y = f(x + ∆x) - f(x)拆解，便可以得到一个关于∆x的式子。比如：

接下来，我们将这个式子拆成两部分∆y = A∆x + ο(∆x)，其中A是一个与x有关的函数，而ο(∆x)则是∆x的高阶无穷小。上例中：

注意，这个等式中的每一项都与∆x有关，若无法拆解得到这样的等式，则这个函数不可微，也就是无法进行微分，那么，这样的函数不在我们的讨论范围。

再来一个例子：

注意，ο(∆x)中看上去并不像所谓∆x的高阶部分，但它的确是∆x的高阶无穷小，具体参看高阶无穷小的概念。

 定义：

• 自变量x的微分为dx = ∆x，其中∆x→0。

• 因变量y的微分为dy = A∆x，其中∆x→0。

• f(x)的导数记作fʹ(x)， 定义为：

 说明：

• 以上是微分和导数的定义，至于这样定义的意义，稍后会讨论。

• dx和dy都是无穷小量，当并不是0。

• 当∆x→0时，dx与∆x相等，但dy不等于∆y，而是其主要部分。后面的ο(∆x)是∆x的高阶无穷小，在下面的推导中可以发现，这部分并没有作用，所以可以忽略。

• 当我们用前面提到的这些定义进行推导，可以得到：

• 导数是两个微分之商，所以又称为微商。导数的本质是极限，仍是一个关于x的函数，若是没有这样的函数存在，则原函数不可导。

• 严格地说，我们之前讲的导数应该称为导函数，而狭义的导数是指某一点的极限。为了方便起见，我们并没有将二者做严格的区分。

导数的定义并不是随意的，而具有数学意义。在函数曲线上，某一点的导数就是该曲线在这一点切线的斜率。导数反应了函数的增减，导数为正则函数上升，反之则下降。但某点导数为0时，函数的升降发生变化，该点正是函数的极大或极小点。

导数还可以有导数，称为二阶导数，记作fʺ(x)。二阶导数可以反应原函数的凹凸，二阶导数为正，则一阶导数上升，切线倾斜角增大，曲线下凸。反之，二阶导数为负，曲线上凸。当某点的二阶导数为0时，函数的凹凸在该点发生变化，该点则是拐点。

拉格朗日中值定理

导数fʹ(x) = dy / dx中的dy和dx是微分，也就是极小的变化。而当这种变化很大时，则写成∆y / ∆x。设函数上有两个点a和b，它们可能离得并不近。于是，∆y / ∆x = (f(b) - f(a)) / (b - a)。有趣的是，在a和b之间，至少有一点ξ，使得该点的导数fʹ(ξ) = ∆y / ∆x，这便是拉格朗日中值定理。

这里并不严格证明，只是用几何方法描述一下。将点a和b用直线连接，那么(f(b) - f(a)) / (b - a)就是这条直线的斜率。将这条直线上下推移，必然会在某一点（或几点）与函数曲线相切，那么这一点就是ξ。

拉格朗日中值定理的应用很多，比如物理的曲线运动中，任何一个过程中必然有一点，这一点的瞬间速率等于这个过程的平均速率。

积分

假定a和b是函数f(x)上的两个点，我们想要计算a和b间这段函数曲线与X轴间区域的面积。方法是，将这个区域切割成一个个很小的矩形，计算每个矩形的面积，并相加起来。也就是说，将a和b间的函数任意切割成n段，在每段中任取一点ξi。接下来，将每段的∆xi和f(ξi)相乘，再统统加起来。由于每段的∆xi并不相等，可取其最大值max(∆xi)。当这个最大值趋于0时，也就是切割足够细的时候，便有下列求面积S的公式：

将这个复杂的式子记为：

这就是f(x)在a和b这段区间的定积分，可见，定积分的本质是一个数值，这个数值与n的大小、具体分割的方法、以及ξ的选取都无关。公式中的dx和微分中的dx相同，都表示极小的∆x，不过这只是一种写法，并不能参加计算。

想要计算定积分的值，先要引入原函数的概念。假定F(x)是f(x)的一个原函数，即Fʹ(x) = f(x)。注意，这样的原函数不止一个，但无关紧要。于是，便有了定积分的计算公式：

下面不严格地证明一下，由于定积分是一个总和，每一小段都是f(ξi) ∆xi，而根据拉格朗日中值定理，这个值便等于∆F(xi)，再将其相加，最终便得到F(b) - F(a)。这里面唯一的问题是，积分中的ξ是任取的，而拉格朗日中值定理中的ξ是指定的。好在max(∆xi)趋于0，所以两个ξ趋于一致。

从定积分推广开去，就有了不定积分，定义非常简单，f(x)的任意原函数就是其不定积分，记作∫f(x)dx。这样的原函数有无数个，它们的区别仅为常量。于是，∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为任意常数。

 

微积分运算

导数的求法可以根据其定义，也可以查找基本函数的导数表，然后求得结果。积分的求法也可通过导数表，先求出原函数，然后再进行计算。不过，这些具体计算都与微积分概念无关，不再详细介绍。

 

总结

从数学角度来看，微分的意义是求切线，而积分的意思是求面积，两者互逆。而微积分被应用于物理学，便有了更广泛的意思。当然，现实中的函数可能更为复杂，如多元函数，于是便有了偏导数、重积分等复杂概念。对于只想对微积分有所了解的我们，这些并不重要。