基于拉格朗日方法探测涡旋

2022-12-18 22:04 作者:永不磨灭的希望 0人读过 | 我要投稿

KEYWORDS: LAVD; Lagrangian method; eddy detection

操作工具：matlab

一、拉格朗日(Lagrangian)方法

拉格朗日定义的本质是找到在有限时间间隔内很少或没有物质泄漏的致密实体。因此，由拉格朗日概念定义的涡旋可以像整体实体一样连贯地移动，通常被称为拟序涡。由于拉格朗日定义都是建立在流体粒子的拉格朗日轨迹之上的，因此在估计水的输运和扩散方面具有很强的优势。在拉格朗日框架下可以更精确地描述与流体粒子的得失相关的生命周期。本文重点介绍拉格朗日方法中的一个，基于拉格朗日平均涡度偏差 (LAVD) 的旋转相干拉格朗日涡旋 (Haller et al. 2016)。

LAVD方法的具体介绍如下：

LAVD，一个客观参数，拉格朗日平均涡度偏差，它描述了流场中每个流体粒子的累积旋转角度，用于定义旋转拟序拉格朗日涡旋。定义的拉格朗日拟序涡是一组物质管，流体粒子沿着这些管在时间间隔 [t0, t1] 内相对于流体的平均刚体旋转经历相同的体积旋转。

其中 $%5Ceta%20$ 是绝对动力高度，式1是计算地转流速度的基本公式。

式2用来计算Lagrangian轨迹的，是一个偏微分方程，轨迹是该方程的解。v(x,t)是粒子在位置 x 和时间 t 的欧拉速度，在计算中，我们根据 Wang et al. (2016) 的研究将计算域的网格宽度设置为 0.1 km。所有积分均使用阶梯自适应四阶/五阶 Runge-Kutta 方法和三次插值法进行。

下面是求解式2的过程：

式3是一个映射关系，其中映射是从粒子初始的位置 $x_%7B0%7D%20%5Cin%20U(t_%7B0%7D%20)$ 到之后的位置 $x(t%3Bx_%7B0%7D)%5Cin%20%20U(t)$ , $U(t)$ 是一个不断发展的物质域。映射是最初位于物质域 $U(t_%7B0%7D%20)$ 中的所有流体粒子的拉格朗日轨迹的组合。

式4是LAVD的定义式，其中 $%5Comega%20%5Bx(s%3Bx_%7B0%7D)%2Cs%5D%20$ 代表流体粒子在时间 s 沿其拉格朗日轨迹的涡度， $%5Cbar%7B%5Comega%20%7D(s)$ 为在 $U(s)$ 上的瞬时空间平均涡度。

在二维速度场中，有限的时间间隔内：

旋转拟序拉格朗日涡旋是一个不断演化的物质域 $%5Cnu%20(t)$ ，使得 $%5Cnu%20(t_%7B0%7D%20)$ 充满了 $LAVD_%7Bt_%7B0%7D%20%7D%5Et(x_%7B0%7D)%20$ 的许多等值线，使得LAVD 值向外递减。
$%5Cnu%20(t)$ 的边界 $%5Cbeta%20(t)$ 是一条物质线，使得 $%5Cbeta%20(t_%7B0%7D%20)$ 是 $LAVD_%7Bt_%7B0%7D%20%7D%5Et(x_%7B0%7D)%20$ 在 $%5Cnu%20(t_%7B0%7D%20)$ 中的最外层等值线。
$%5Cnu%20(t)$ 的中心 $C(t)$ 是一个中心点，使得 $C(t_%7B0%7D%20)$ 是 $LAVD_%7Bt_%7B0%7D%20%7D%5Et(x_%7B0%7D)%20$ 等值线在 $%5Cnu%20(t_%7B0%7D%20)$ 的最内点（最大值）。

式5是演化位置。

式6是时间 t 的演变位置。

$y$ 被定义为Lagrangian拟序时间尺度。

Lagrangian拟序涡的基本探测过程如下：

计算LAVD
探测涡旋中心的初始位置 $C(t_%7B0%7D%20)$ 作为 $LAVD_%7Bt_%7B0%7D%20%7D%5Et(x_%7B0%7D)%20$ 的局地最大值
寻找涡旋边界的初始位置 $%5Cbeta%20(t_%7B0%7D%20)$ 作为 $LAVD_%7Bt_%7B0%7D%20%7D%5Et(x_%7B0%7D)%20$ 的最外层封闭轮廓，它环绕涡旋中心 $C(t_%7B0%7D%20)$ 并且凸度缺陷（convexity deficiency）要小于选定的阈值。

Lagrangian算法(2D)

注意：输出的是初始时刻的涡旋位置！！！

matlab代码如下：

输出结果展示：

二、欧拉(Eulerian)方法

欧拉定义，例如 Okubo–Weiss (OW) 定义（Okubo 1970; Weiss 1991）、基于海面高度 (SSH) 的定义（Chelton et al. 2011a）、基于速度几何的定义（Nencioli et al. 2010) 和基于位涡量 (PV) 的定义 (Zhang et al. 2014)，均通过建立在欧拉坐标上的瞬时特性来定义涡旋。

IVD（瞬时涡度偏差）：

在旋转拟序欧拉涡中，IVD相当于Lagrangian中的LAVD，详情见Haller et al. (2016)。

三、Lagrangian vs Eulerian

例1：

我们展示了旋转拟序拉格朗日涡旋和欧拉涡旋初始位置的比较，三个欧拉涡（绿色）接近拉格朗日涡（红色），剩余的欧拉涡显示出主要的丝状化并在平流下分解。另外，基于初始时间的瞬时欧拉预测的拟序涡的大量误报，即使该预测是框架不变的。

因此，相比于欧拉方法预测涡旋，拉格朗日方法的准确度更高。

例2：

虽然欧拉涡旋随着时间的推移缺乏完全的物质一致性是预料之中的，但其中一些涡旋在初始时间 $t_%7B0%7D%20$ 时非常接近拉格朗日涡旋，即使它们只是从瞬时分析中提取出来的。同时，其余欧拉涡旋没有在平流下完全瓦解。

另：拉格朗日拟序涡还可以拓展到3D结构

参考文献

Haller, G., Hadjighasem, A., Farazmand, M., & Huhn, F. (2016). Defining coherent vortices objectively from the vorticity. Journal of Fluid Mechanics, 795, 136–173. https://doi.org/10.1017/jfm.2016.151
Xia, Q., Dong, C., He, Y., Li, G., & Dong, J. (2022). Lagrangian Study of Several Long-Lived Agulhas Rings. Journal of Physical Oceanography, 52(6), 1049–1072. https://doi.org/10.1175/jpo-d-21-0079.1

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