在协力LIVE中选中效率曲的概率问题

        我们都知道，在《BanG Dream!少女乐团派对!》《世界计划 彩色舞台 feat. 初音未来》等音乐节奏类社交卡牌手游中，有多人联机的游戏模式（协力模式）。

        在协力模式中，玩家可各自在曲库中选择指定将要游玩的曲目，也可以选择“随机选曲”。如果参加协力的所有人均选择了“随机选曲”，则在曲库中随机抽选一首歌游玩。如果有人指定曲目，则在所有被指定过的曲目中随机抽选歌曲，其中任意歌曲被选中概率=指定该歌曲人数/所有指定了曲目的人的总数。

        游玩某些曲目，可以（在单位时间内/在付出同等资源）的情况下得到更高的分数，这些歌曲因有更高的获取分数效率，被称作“效率曲”。有些玩家因在协力中过于频繁地游玩“效率曲”，对“效率曲”以及在协力中选择“效率曲”的行为产生一定抵触心理，其中有些玩家会通过选择非效率曲的方式，降低在协力中游玩“效率曲”的概率。

结论

        通过列表分析，发现对个人而言，在协力中选择非效率曲，相较于选择“随机选曲”，可以使打效率曲的概率降低略不到一半。但是，在总体上主动选择非效率曲的人数的增多，不能很显著地降低总体上协力打效率曲的概率。

        一个协力房间有  个人，设任一玩家选效率曲的概率是，选非效率曲的概率是，随机选曲概率为，使得，设所有人都随机选曲时，抽中效率曲的概率是，那么：

• ①任一场协力LIVE，打效率曲的概率是；

• ②如果你选择效率曲，打效率曲的概率是；

• ③如果你选择非效率曲，打效率曲的概率是；

• ④如果你随机选曲，打效率曲的概率是.

推导过程

        对任意五人协力LIVE房间，打效率曲的概率是：

（1）

        式中表示设随机选曲的人数为，对从到的情形求和（时选中效率曲的概率是，发生该情形的概率是）。表示设选效率曲的人数为，对从到的情形求和（且有人选曲的时候打效率曲的概率是）。

        化简（1）式：

        类似地，对于你选择了效率曲的情形，这一概率是：

（2）

        化简（2）式：

        将式中的与交换就得到选择非效率曲时打非效率曲的概率，为

        因此选择非效率曲时打效率曲的概率是：

        随机选曲时，打效率曲的概率是：

■