【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】『数理化自学丛书』其实还有新版，即80年代的改开版，改开版内容较新而且还又增添了25本大学基础自学内容，直接搞出了一套从初中到大学的一条龙数理化自学教材大系列。不过我依然选择6677版，首先是因为6677版保留了很多古早知识，让我终于搞明白了和老工程师交流时遇到的奇特专业术语和计算模式的来由。另外就是6677版的版权风险极小，即使出版社再版也只会再版80年代改开版。我认为6677版不失为一套不错的自学教材，不该被埋没在故纸堆中，是故才打算利用业余时间，将『数理化自学丛书6677版』上传成文字版。

第四章电磁感应

【山话||  本系列专栏中的力单位达因等于10⁻⁵牛顿；功的单位尔格等于10⁻⁷焦耳；热量的单位卡路里等于4.186焦耳；电荷的单位静库（1库伦=3×10⁹静库）；电势的单位静伏等于300伏特。另外这套老教材中力的单位常用公斤、克等，但如今是不允许的，力是不能使用质量单位的。】

§4-3感生电动势

【01】我们已经知道：在有电流通过一段导体时，这段导体的两端必须具有电势差，在有电流通过一个闭合电路时，这个闭合电路里必须具有电动势。感生电流之所以能够形成，就是由于线路里有了感生电动势。

【02】在定量地研究电磁感应现象的时候，感生电动势是比感生电流更重要的物理量。感生电动势只跟产生电磁感应的条件有关，而感生电流则由感生电动势和电路的电阻等条件来决定。知道了感生电动势的大小，我们就可以根据电路的条件，应用欧姆定律来确定感生电流的大小。

1、感生电动势的形成

【03】在学习第二章的时候，我们已经知道，电池的电动势是由于化学力的存在，使正、负电荷在电池中作不均匀的分布所形成。与此相似，感生电动势是由于磁场力的存在，使导体中的自由电子作不均匀的分布所形成。为了便于阐明感生电动势形成的过程，让我们取导体切割磁力线为例来进行讨论。

【04】图4·9(a)表示一根导体 AB，在磁场中沿 M 方向作切割磁力线的运动，导体 AB 本来是中性的，它所带的正、负电荷的电量相等，分布均匀，并且不作定向运动。但当导体 AB 在磁场中沿 M 方向作切割磁力线的运动时，它所带的正、负电荷也就都跟着沿 M 方向作定向运动，沿 M 方向运动的正电荷，形成沿 M 方向的电流，按照左手法则，它们要受到指向 B 端的磁场力作用。沿 M 方向运动的负电荷，形成与 M 方向相反的电流；它们所受到的磁场力方向与正电荷所受到的相反，指向导体的 A 端。导体中原子核所带的正电荷和绕核旋转的电子所带的负电荷，由于受到结晶点阵和正负电荷间相互作用的束缚，并不能因为受到磁场力的作用而发生电荷分离现象。只有在导体中作无规则运动的自由电子（如图4·9(b)所示)，沿磁场力 f 的方向有附加的定向运动。这样就使导体 A 端的自由电子越来越多，而呈带负电现象，同时 B 端的自由电子越来越少，就呈带正电现象，并在导体中建立起一个越来越强的电场（场强的方向从 B 向 A）。这种新建立起来的电场，对自由电子的定向运动起阻碍作用；最后，当电场力和磁场力达到相互平衡，自由电子就不再向 A 端增加；此时，A、B 两端间的电势差最大，就是这段导体上的感生电动势。

【05】在有感生电动势存在的情况下，AB 这段导体就相当于电池的内电路，它的 B 端电势较高，相当于电池的正极，A 端的电势较低，相当于电池的负极。在外电路没有接通时，导体 AB 上只有感生电动势 E＝UB－UA，而没有感生电流。在用导线把 A、B 两端接通以后，在外电路上，电流从高电势的 B 端流向低电势的 A 端，在内电路上，电流从低电势的 A 端流向高电势的 B 端。此时 A、B 两端间的电势差（即外路电势降落）UB－UA 小于感生电动势 E，而等于感生电流强度Ⅰ和外路电阻 R 的乘积ⅠR；闭合电路上的感生电动势 E 和感生电流Ⅰ的关系遵循欧姆定律，即 E＝Ⅰr＋ⅠR，式中 r 为内电阻（即 AB 导体上的电阻），Ⅰr 为内路的电势降落。

【06】在讨论这类问题时，可能有人会这样想：在 AB 这段导线里，电流的方向既然是从 A 向 B，那么 A 端的电势就应当高于 B 端，怎会 B 端的电势反而高于A端呢？显然，这是错误的想法，导致这种错误的原因是把具有电动势的内电路看成了没有电动势的外电路了，由于只注意到从 A 到 B 有一个电势降落而忽略了有一个等于电动势 E 的电势跃升。

2、感生电动势的大小

【07】感生电流和别种电流一样，当它在电路中流过时总要消耗电能转换成别种形式的能量（例如物质内能）。这些消耗掉的电能是由什么能量转换来的呢？是通过怎样的方式来转换的呢？让我们仍旧以导体切割磁力线为例来讨论吧。

【08】图4·10表示一个放在均匀磁场里的矩形线圈 abcd，它的平面和磁力线垂直，它的 ab 边可以向左右任意移动（在移动时仍与导线框接触）。当 b 边沿 M 方向移动而切割磁力线时，矩形线圈里就有感生电流产生，应用右手法则可以确定它的方向为逆时针方向，即在 ab 这段导线里是从 b 流向 a，如图中箭头Ⅰ所示。当线圈里有感生电流通过时，线圈的各个部分都要受到磁场力的作用；应用左手法则，可以确定 ab 这段导线所受磁场力 F 作用的方向与切割方向 M 相反，即它阻碍切割运动。我们已经了解，只有导线正在作切割磁力线的运动时，线圈中才有感生电流；切割运动一停止，感生电流就立即消失。要使导线 b 不断地作切割磁力线的运动，就必须有一个与磁场力 F 相等、方向相反的外力（即沿 M 方向的外力）作用，它抵抗磁场力 F 做功。通过做功，外力的机械能就转变为矩形线圈中的电能。所以我们说，在用闭合线路的一部分导线切割磁力线时，感生电流的能量是由机械能转换来的，是通过抵抗磁场力做功的方式来转换的。

【09】感生电流的能量既是通过抵抗磁场力做功来转换的，那么根据功能定理可知，感生电流在闭合线路中所消耗的总能量应当等于维持切割运动所做的功。

【10】通过第三章的学习，我们已经知道，当导线 ab 在作切割运动时，即线圈 bcd 中有感生电流时，ab 导线所受到的磁场力，式中 H 为磁场强度，单位为奥斯特；Ⅰ为感生电流强度，单位为安培； 为作切割运动的导线的长度，单位为厘米；F 为磁场力，单位为达因。设在时间 t 里，切割导线从位置 ab 移到位置 a'b'，那么在这段时间里外力抵抗磁场力F所做的功，式中 S 为切割导线在时间 t 内所扫过的面积，单位为平方厘米，W₁ 的单位为尔格。

【11】由于 HS 等于穿过面积 aa'b'ba 的磁通量（即在 t 秒钟里切割的磁力线条数）Φ，所以上式又可写作  。

【12】通过第二章的学习我们还知道，电流在全电路上所消耗的能量，式中电动势 E 的单位为伏特，电流Ⅰ的单位为安培，时间 t 的单位为秒。

【13】根据功能定理 W₁＝W₂，求得感生电动势的大小  。这就是说：当导线在作切割磁力线的运动时，导线里感生电动势的大小跟导线在单位时间里切割磁力线的数目成正比。再从图4·10来看，当滑动导线从位置 ab 移到位置 a'b' 时，闭合线圈的面积从 abcd 增加到a'b'cd，穿过闭合线圈的磁通量增加了 Φ＝HS，即在每单位时间里增加 Φ/t  。因此，上面的公式又可以理解为：当穿过闭合线路的磁通量发生变化时，线路里感生电动势的大小跟穿过闭合线路的磁通量变化率成正比。

【14】这是由法拉第首先提出的，所以我们把它叫做法拉第电磁感应定律；它的一般表示式为，式中 △Φ/△t 为磁通量变化率；在变化均匀的情况下，磁通量变化率等于单位时间里增加或减少的磁通量（注意：不要把磁通量变化率误解为磁通量变化）。

【15】在上面，我们拿矩形线圈为例来进行讨论，只是为了方便，而理论和实验都证明，法拉第电磁感应定律对于任何形状的闭合线路都是适用的；并且还证明，这一定律不仅对单匝线圈适用，对多匝线圈也适用。在具有 n 匝线圈的闭合线路里，感生电动势是单匝线圈的 n 倍，即  。

例2.如图4·10所示，ab 长30厘米，整个矩形线圈放在磁场强度等于 5000 奥斯特的匀强磁场里；磁场方向与纸面垂直（向纸内）。(1)若导线 ab 以 4 米/秒的速度向右运动，求感生电动势的大小。(2)若线路 abcda 的电阻恒定，并等于 0.2 欧姆，求移动导线 ab 所需要的外力。(3)比较外力所做的功率（即抵抗磁场力所做的功率）和全电路上的电功率。

【解】

(1)根据题意，导线 ab 向右移动时切割磁力线，因而产生感生电动势。

        导线 ab 每秒钟移动的距离为 4 米（即 400 厘米），每秒钟扫过的面积为 30×400＝12,000厘米²，因而每秒钟所切割磁力线的数目（即△Φ/△t）为5000×12,000＝6×10⁷。根据法拉第电磁感应定律，求得感生电动势 伏特。

(2)在有感生电流通过时，导线 ab 所受到的磁场力 达因。

        为了维持导线 ab 向右移动，需要一个大小等于 F、方向和它相反的外力。

(3)外力的功率 N＝Fv＝45,000×400＝1.8×10⁷尔格/秒＝1.8瓦特；

        闭合电路上的电功率 瓦特。

        对比以上结果可以看出，全电路的电功率等于外力的机械功率。

例3.把一根直导线放在匀强磁场里，使它和磁力线方向垂直，并使它在和磁力线成 θ 角的方向上以匀速度 v 运动（如图4·11所示）。试导出一个等式来表示感生电动势 E 与速度 v 的关系。

【解】

        根据法拉第电磁感应定律，我们已经了解导体中的感生电动势与导体切割磁力线的快慢有关，即与每秒钟切割磁力线的数目有关。

        当导体沿磁力线方向运动时，因为它不切割磁力线，所以不产生感生电动势。当导体的运动方向和磁力线成某一角度 θ 时，我们可以应用平行四边形法则把导体的运动分成两个分运动来考虑：一个与磁力线方向平行的分运动叫做无效分运动（导体在这个方向上运动时不切割磁力线），另一个与磁力线方向垂直的分运动叫做有效分运动（导体在这个方向上运动时切割磁力线）。在研究电磁感应现象时只需要考虑有效分运动就可以了，不需要再考虑无效分运动，所以有效分运动又叫做切割运动。

        从图4·11可以看出，有效分运动的速度（即切割运动的速度）  。设导体的长度（垂直于磁力线方向的长度）为 l，那么导体每秒钟扫过的面积为 lw'，即 l v sinθ，导体每秒钟所切割的磁力线数为 H l v sinθ  。

        根据法拉第电磁感应定律，得出感生电动势的表示式： （在解类似的问题时，上式可以当作公式来使用）。

例4.在一个磁场强度 H＝10 单位的均匀磁场里，放一个面积为 100 平方厘米的导线圈，其匝数为 500 匝。在 0.1 秒钟内，把线圈从平行于磁力线的方向转过 90°，变成与磁力线的方向垂直。求感生电动势的平均值。

【解】

        在线圈转动的过程中，导线切割磁力线的快慢是不均匀的，或者说穿过线圈的磁通量变化率是不均匀的，所以感生电动势也不均匀。但是，我们可以根据穿过线圈的磁通量的平均变化率来求得感生电动势的平均值。

        在时间 0.1 秒里，线圈转过 90°，穿过它的磁通量从 0 变成 Φ＝HS＝10×100＝1000。

        在这段时间里，磁通量的平均增加率   。

        根据法拉第电磁感应定律公式，求得多匝线圈的感生电动势平均值 伏特。

习题4-3

1、一根竖直的金属棒，在地磁场中自东向西运动。问棒的那一端电势比较高？你是怎样确定的？

2、导线在 5 秒钟里一共切割了 7×10⁷ 根磁力线。求感生电动势的平均值。【0.14伏特】

3、有长度等于 0.5 米的导线，在磁场强度 H＝400 奥斯特的匀强磁场里作匀速运动，速度的大小 v＝3米/秒。(1)如果导线的长度、速度的方向和磁力线的方向互成直角，求感生电动势的大小。(2)如果导线的长度和磁力线的方向垂直，而速度的方向和磁力线方向的夹角是 30°，求感生电动势的大小。【(1)0.06伏特，(2)0.03伏特】

4、有一个 200 匝的导线圈，如果穿过它的磁力线，在 3 秒钟内从 6×10⁶ 根减少到0，问线圈中的感生电动势是多大？【4伏特】

5、把一个面积为 20×40 厘米的矩形导线圈放在磁场强度 H＝2000 奥斯特的匀强磁场里，使线圈平面和磁力线方向平行，两个竖直边和磁力线垂直（如附图所示）。在线圈绕 ab 边以每秒 30 转的速度旋转时，(1)感生电动势的平均值等于多少？(2)线圈在什么位置时的感生电动势为零？在什么位置的感生电动势最大？(3)感生电动势的最大值等于多少？[提示：(1)每转 1/4 圈需时 1/120 秒，磁通量的变化情况重复一次；(2)切割边的运动速度 v＝1200 π 厘米/秒]【(1)1.92伏特，(3)3.01伏特】