理解小波变换（一）

对于一维时间序列，现实世界中的数据或者信号，经常表现缓慢变化或者振荡的趋势，并伴随着瞬变。

对于二维图像，图像中有很多平滑的区域，这些平滑的区域存在锐化，或者对比度突变。

而这些恰恰是我们所关注的区域。

但是傅里叶分析无法有效地反映突变，因为这个方法是将时间序列划分为正弦波的叠加，而正弦波在时域和频域均没有定位信息。这个时候小波分析就被提出来了。

小波是一种快速衰减，零均值的振荡。

小波包含不同的种类，如：

小波分析包含两个重要概念：

scaling

shifting

scaling代表时间尺度上的拉伸或者压缩。假设有一个关于t的函数，其数学表达式可以转换为：

其中s代表尺度系数，它是一个正数，代表信号在时间上的缩放程度。s与频率呈常系数的倒数关系，例如，假定s为2，则时间序列的频率变为常系数/2。常系数称为小波的“中心频率”，中心频率的产生主要是因为小波在频域内具有带通特性。在数学上，小波的频率等价于：

等式右边的分子就是中心频率。

较大的尺度系数可以拉伸小波，对应地等效频率比较低频，而较小的尺度系数则会压缩小波，显得高频。

拉伸的小波可以有效地捕抓时间序列中的慢变成分，而压缩的小波可以有效地捕抓突变。

shifting即在信号长度上延长或者推迟小波的位置，其数学表达式为：

shifting可以使得小波对齐我们要在信号中捕抓的特征的位置。

小波分析的类型主要有两种:

即：

连续小波变换和离散小波变换。

这两类的差别主要在于：scaling或者shifting的方式不同。