很水的数学分析课124：拓扑学家的正弦曲线

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一.1.连续映射“保持道路连通性”。

证明：f(X)上的任意两点f(x)和f(y)之间的道路可以用f₀p表示。

2.由“1”直接推得单位球面道路连通。

证明：D=IRⁿ/｛0｝道路连通，

故Sⁿ⁻¹=g(D)（其中g(x)=1/‖x‖·x，∀x∈D是连续映射）道路连通。

二、关于道路连通和连通的关系。

3.定理2.47。道路连通⇨连通

证明：设X道路连通，则存在连续映射f：[0, 1]→X。用定理2.44的结论，[0, 1]连通，故X连通。

4.但定理2.47的逆命题不一定对，其反例正是经典的：拓扑学家的正弦曲线（例2.81）

S=sin(1/x)在(0, 1]上的图像，S闭包是连通的，但却不是道路连通的。

前者因为S连通⇨S闭包连通

后者S闭包不道路连通，因为无法找到一个连续映射f(t)=(x(t), y(t))把[b, c]映到S闭包上。

这是因为f在(0, m)不收敛⇨f在(0, m)不连续。而这依靠sin1/x的性质，用Heine原理和介值定理推得。

5.但若E是开集，则道路连通⇔连通。

其等价命题是例2.83，区域一定是道路连通的。

证明：构造Ex，只需证明Ex=E。根据上节课的定理，只需证明Ex既开又闭且非空。

球形邻域道路连通+粘接引理⇨开、闭集