【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep27】关于数学——你“绝对”要知道……
虽然老碧知道收藏多于点赞这回事吧，但是上一篇只有收藏没有点赞是什么鬼情况？好吧，好吧，冷静，看你们这么可爱，老碧真的是一点都不抓狂呢——阴谋已然开始悄悄酝酿……
上次我们验证了在实数范围内，有理数具有的性质都仍然成立，自此，实数获得严谨定义。
最近几期给实数论收个尾，我们就要进入到大学《数学分析》的第一个主体内容了——“极限论”，而在此之前，我们绝对要掌握一个最基本的技术，也是《数学分析》“极限论”中所有的题目技术要点难点所在，即——花式解不等式！
偷偷告诉你们一个秘密——一般大学《数学分析》课本，实数论一般一两页就带过了，如果不是重度强迫症晚期患者，确实没必要花这么久跟着老碧一起梳理这一堆虽然有趣但是没什么大用的东西！
曾几何时，在知乎上有一个刚刚上大一的数学系宝宝问过这么一个问题——总是觉得数学分析就是花式求不等式？下面一大堆数学系大神，花式表赞同。
为什么解不等式的技术在《数学分析》乃至整个分析学中，都有着举足轻重的作用呢？
我们之后再说，今天我们就先来介绍前几个最常用的不等式来作为《数学分析》的通行证之一吧！
《数学分析》课程的前至少三分之一的部分，四个不等式可以解决九成的问题，第一个就是书上介绍的绝对值不等式——
17绝对值
包含了——
|a|<b等价于-b<a<b
必要性——
如果a>=0，则|a|=a，由|a|<b，得到-b<0<=a<b，得证；如果a<0，则|a|=-a，由|a|<b，得到-b<0<-a<b，在不等式每一项都加上a，即得到，a+（-b）<0与0<a+b=a-（-b），即-b<a<b，得证。
充分性——
如果-b<a<b，在不等式两边同时加-a，（-a）+（-b）<0，得到，-a<b，且已知a<b，我们知道|a|要么是a，要么是-a，它们都比b小，所以|a|<b，得证。
|a+b|<=|a|+|b|
我们已知，a<=|a|，-a<=|a|，b<=|b|，-b<=|b|
显然a+b<=|a|+|b|，（-a）+（-b）=-（a+b）<=|a|+|b|，
|a+b|要么是a+b，要么是-（a+b），它们都小于等于|a|+|b|，得证。
-（|a|+|b|）<=a+b<=|a|+|b|
我们已知，-|a|<=a<=|a|，-|b|<=b<=|b|，
各项相加得（-|a|）+（-|b|）<=a+b<=|a|+|b|，即-（|a|+|b|）<=a+b<=|a|+|b|，得证。
可以直接推广到任意项相加的情况，用归纳法，把前面n-1项当作一个整体即可。
|a-b|>=||a|-|b||，谢惠民《数学分析习题课讲义》第一节的习题
第一步：|a-b|=|a-b|+[|b|+（-|b|）]=（|a-b|+|b|）-|b|>=|a-b+b|-|b|=|a|-|b|
第二步：|a-b|=|b-a|>=|b|-|a|，结合上下得——|a-b|>=||a|-|b||
第二个则是，函数不等式，也是我们之前聊过放缩法的理论依据之一，就是在许多证明过程中，我们如果注意到，要证明的不等关系中的一边可以看作一个单调函数或者有界函数，那么证明就会简单许多，特别是很多时候，仅仅用单纯的不等式搞不定的情况，不妨向函数的方向思考一下。
比如北京大学2017年数学分析的第五题——
看起来是一个简单的迭代数列，如果按照常规的归纳法是很麻烦的，但是如果用函数的思想又会很简单！
还有的题目，结合了绝对值不等式和函数两种思想在一起，解起来就很轻松，比如谢惠民《数学分析习题课讲义》第一节的习题——
求证：|a+b|/（1+|a+b|）<=|a|/（1+|a|）+|b|/（1+|b|）
提示：利用函数单调性分类讨论即可。
学过极限的宝宝，可以试试看这两题，没学过极限的宝宝，试试看第二题，很有趣的！
第三个是伯努利不等式，之后两篇就会讲到。
最后一个则是均值不等式，尤其是任意项的均值不等式应用广泛，完整的均值不等式涉及到四个均值——
我们一般前三个就够用了，证明可以用归纳法，感兴趣的小朋友们可以证明试试看哦！
今天聊到这里，明后两天给“实数论”收个尾，我们就可以到“极限论”里浪起来啦！是不是想想就很激动！我们明天不见不散哦！
