三次方程解法中的耦合问题

很久没做数学内容了。 注意，这里不是教你如何解方程，而是用高中到大学视角探究市面上常见的解方程想法里面的bug。 解x3=ax+b。 令x=u+v，观察u+v的立方公式。（u+v）3=u3+v3+3uv（u+v）。 到这里以后，市面上的教程往往让你把u+v替换成x。但是uv为什么不替换？u，v和x也是有关系的。 局部替换是什么？这就是我接下来要讨论的。 容易根据直觉写出如下定义： 对于一个函数f（x，y），若存在函数h（x，y）使得任意x，y，f（x，y）恒等于g（x，y，h（x，y）），则称g（x，y，h（x，y））是f（x，y）的一个局部替换，替换核为h（x，y）。 称自由函数为g（x，y，z），简称g。相对地，局部替换g（x，y，h（x，y））简称gh。 显然，局部替换是自由函数在z=h（x，y）曲面上的一个限制。 因此局部替换后，虽然可以通过研究自由函数g来研究与其限制在h上的局部替换恒等的f，但是g的性质并不直接继承到f。例如g的最小值和最小值点都会因为约束条件的存在而发生变化，gh不再继承。 但是因式分解呢？说起来就比较复杂了。 考虑三次方程的例子。 我们先澄清对比系数法的背景，引入对比系数法的严格表述，然后试着考虑这个例子的因式分解。 式子一边是x3=ax+b，另一边是（u+v）3=u3+v3+3uv（u+v）。如果按照网络营销号上的说法，片面地将u+v替换为x，那么右侧就变成了x3=u3+v3+3uvx。注意a和b都与x无关，不是x的函数。 假设三次方程有1个根，便于理解。那么这个式子里其实不存在原生的真正的变量。在初等的理解里，x，u，v都是常数。当然这里u和v其实具备一定任意性，它们中的一个是自由变化的。 那么为什么要将x当成变量呢？只有当x是变量的时候才能使用对比系数法。 在数学分析中级函数的一节，确实有可能使用『扩充变量』的技术，但那个东西即便是研究生也不容易理解，而且有较强的上下文背景。我们尽量避免直接使用那种技术去解释。 而且扩充变量法的问题只是在于，无脑使用正确率非常小，倒不是一定错误。 这里我们可以通过研究原方程的零点进行扩充变量，这样一来x就被视为变量了。但是与此同时u和v也立刻变为了变量。 首先我们用正常的变量代换，不去引入局部代换试试看。 我们引入任意变量u，以及原变量x。相当于分解一个变量，但分解方式待定。系统性地学习到这个知识大概是在数学分析上册。 然后立方和公式变成x3=u3+（x-u）3+3u（x-u）x。 关于变量x，次数和原方程一样，都是三次。 我们进行整理。但是并没有得到有用的式子，整理后变成了0=0。 然后我们使用雅可比变换，把x，u替换为x，u（x-u）。如果变换是一一的，既然前者能用，那么后者也能用。 根据二项展开，使用二项分布的记法，可以记x-u为v。所以这个变换还挺好想的，就是u+v和uv。我们通过概率论和韦达定理的启发可以把原方程转化为求u+v和uv两个值。 这个变换的雅可比矩阵为：1，0，＊，x-2u。星号不需要求出，因为上三角矩阵行列式被对角元素完全确定。所以行列式为x-2u。如果u不是x的一半，那么这个变换就一定是可用的。基于极坐标变换的原理，即便u是x的一半，因为这样的点不是很多，所以也可以试着考虑证明这个变换还是具备一对一变换的性质。当然现在暂时还没有证明必要，先继续做试试看。 接下来我们重写立方和公式。我们把u+v仍然写为x，uv写为y。公式变成x3=u3+v3+3xy。接下来继续消去u和v。 如果用立方和公式消去，很明显我们可以发现又变成0=0了。 这里x和u是没有关系的，x和y也是没有关系的。我们现在试图给它们指定一个关系，即指定x分解为u，v的方式。 我们可不可能令u3+v3与x无关？我们很显然可以令u3与x无关，但涉及了v就不好说了。我们为此先考察x=0的时候u3+v3是一个关于u的函数，然后考察它的取值范围。它是一个二次函数，所以取值范围肯定是不自由的，因为不到R。具体来说是3u2-3u+1。开口向上，最小值1/4。从求导来看也可以说是无关的吧，前提是在这个范围。如果扩张到复数上，自然就可以取到R，也就是无关了。 同理，x不等于0也一样。虽然我没有算过。 但是显然可以由隐函数定理或者映射方式证明，u+v，uv，u3+v3不可能都自由。它们三个中给定两个就能求出u和v的值，进而求出第三个的值。 我们进一步引入条件概率相关的思考。 虽然不能让立方和公式完美还原原方程中x，a，b三个均互相无关的场面，但是如果在给定x的时候，x和uv无关且x与u3+v3无关，那么这个方法还是有可能用下去的。 如果给定x，不给定u和v，显然uv和u3+v3的值域都是任意的。 这样卡bug到底可不可行，就要通过探究『对比系数法』的根本原理来澄清了。 当然，那些流量公众号一般是做不到这一点的。 对比系数法的最初级版本是这样的： 如果函数f（x）是线性函数，g（x）也是线性函数，且f恒等于g，那么它们的两个系数都是相等的。 同理可以发现，如果f，g都是多项式函数，不必要求同次，那么它们的可数无穷个系数也都是相等的。 如果f和g都是多元函数，结论也是一样的。 不过从根本上，对比系数法是建立在线性空间和线性表示上的方法。 对于线性空间V，它有基an，诸an的线性函数为f（b），其中b是向量，表示基an的系数。若上述线性函数空间中两个函数f，g有f恒等于g，那么两个函数中的b相等。其实也就是对偶空间啦。 通俗地讲对比系数法的原理，其实也就是严格对比系数法的证明，也就是线性空间中唯一性的证明，反证相减法。 回到刚才的例子。我们试图把对比系数法扩张到另一个范围。接下来我们设x是任意的自变量，a，b是与x无关的变量，但a，b也可以看做常数。 显然，若ax+b恒等于cx+d，那么a等于c，b等于d。 若存在f，使得f（x，b）x+b恒等于cx+d，那么b还等于d吗？ 显然，取f=x-b/x，则由多项式的对比系数法，d=0但b不一定等于0。所以是不成立的。 转化为三次方程的例子，f（x，a）x+a恒等于3x+1，那么能用对比系数法说f（x，a）=3且a=1吗？ 显然不能。比如f=x就破坏了第一条，显然还可以构造出违反两条的f。 原解法的无效性一览无遗。 那么在这个式子中，我们试着考虑局部换元后的自由函数g。 ax+b-u3-v3-3uvx。 既然无法做对比系数法，那只好强行分解为其本身，即在自由函数g（a，b，u，v，x）中存在x0为其关于x的线性函数的唯一零点。 那么这自由函数在题中有何限制？只有唯一一个，x=u+v。我们现在来看看x0是否在x=u+v这个子集（流形）上。为此我们固定a，b，考察截面函数gab（u，v，x）。 然而目前由于对比系数法无法使用，我们有5个量但只有3个约束。即便这样仍有成功证明这一点的可能。可是即便成功，我们也将发现已有的3个约束方程（自由函数为0，立方和方程，初始方程）的信息包括了u+v=x，所以还是只有三个方程，缺少两个方程。 尽管你可以自由地探索，反正做完验证就行了，但是人不能事后诸葛亮，至少以我目前的尝试看来，强行做对比系数法没有任何先验的道理。