用向量法解2023全国乙卷立体几何大题，不做任何辅助线
2023全国乙卷立体几何大题线段非常多，且没有线面垂直关系。现有解法中都以几何法为主，要求辅助线和运用立体几何公理，对几何法的创造性要求较高。对于普通学生来说不易掌握。因此在此尝试使用向量法不做任何辅助线解决此题，从已知条件出发，运用空间向量的直线推进的思维一步一步求解未知量。本题虽然没有线面垂直关系，但各边长已知，且包含部分垂直关系，所以也方便建系解决。
题目如下：
解答过程：
（由于F点在AC上的比例关系未知，所以要先求解三角形ABC）
先在平面直角坐标系中做三角形ABC，以B为原点，BA和BC分别为x和y轴（自行画图）。则：
B(0,0)，A(2,0)，C(0,2√2)，O(0,√2)
kAO=(0-√2)/(2-0)=-√2/2
AO⊥BF⇒kBF=-1/kAO=-1/(-√2/2)=√2⇒BF：y=√2x
AC：y=(0-2√2)/(2-0)x+2√2=-√2x+2√2
联立BF与AC得：F(1,√2)，则F为AC得中点
（求出F在AC上的位置后，建立空间直角坐标系求出所有坐标）
由于△ABC为RT△且O、F分别为BC、AC上的中点，故OF⊥BC且OF=1/2AB=1
以O为原点，OF、OC为x、y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，其中z轴垂直于平面ABC且由右手定则决定方向（自行画图），则：
O(0,0,0)，F(1,0,0)，C(0,√2,0)，B(0,-√2,0)，A(2,-√2,0)
由于△PBC为等腰△，且BC边上的O为BC的中点，所以PO⊥BC，所以P只能在平面Oxz上
PO=√(PC^2-OC^2)=√((√6)^2-(√2)^2)=2
设PO与z轴的夹角为θ，则P(2sinθ,0,2cosθ)
则D(sinθ,-√2/2,cosθ)
DO=√((sinθ)^2+(-√2/2)^2+(cosθ)^2)=√(3/2)
AD=√((2-sinθ)^2+(-√2/2+√2)^2+(cosθ)^2)=√(11/2-4sinθ)=√5DO=√5×√(3/2)=√(15/2)
解得θ=-30°
则P(-1,0,√3)，D(-1/2,-√2/2,√3/2)，E(1/2,-√2/2,√3/2)
（至此，所有坐标均已解出，现在可以带入坐标求解三问了）
(1)面ADO的一条法向量：
n1=OA×OD=(2,-√2,0)×(-1/2,-√2/2,√3/2)=(-√6/2,-√3,-3√2/2)
EF·n1=(1/2,√2/2,-√3/2)·(-√6/2,-√3,-3√2/2)=-√6/4-√6/2+3√6/4=0
所以EF⊥n1，所以EF∥面ADO
(2)面BEF的一条法向量：
n2=BE×EF=(1/2,√2/2,√3/2)×(1,√2,0)=(-√6/2,√3/2,0)
n1·n2=(-√6/2,-√3,-3√2/2)·(-√6/2,√3/2,0)=3/2-3/2=0
所以n1⊥n2，所以面ADO⊥面BEF
(3)面AOC就是面Oxy，所以它的一条法向量为n3=(0,0,1)
二面角D-AO-C的正弦值，即为面ADO的法向量n1与面AOC的法向量n3所夹角φ的正弦值：
sinφ=|n1×n3|/(|n1||n3|)=|(-√6/2,-√3,-3√2/2)×(0,0,1)|/(|(-√6/2,-√3,-3√2/2)|*1)
=|(-√3,√6/2,0)|/|(-√6/2,-√3,-3√2/2)|=√2/2
总结：
2023全国乙卷的立体几何题线段多，线面垂直关系不明显，所以较为复杂。但依然可以较为自然地建立空间直角坐标系，再通过已知条件求出P点坐标，然后运用空间向量求出三个问题。建系→求坐标→求法向量→证平行/垂直 或者 求线线/线面/二面角，这是个非常直线的思维，从已知条件一路推到未知条件，不需要做辅助线运用立体几何公理做任何证明。所以这种方法是普通学生都可掌握的非常简单且灵活的方法。
补充：
向量的叉乘、外积、向量积：
向量a和b的叉乘得到的还是一个向量，大小为|a||b|sin<a,b>，方向垂直纸面，由右手定则确定。物理上有一个典型的应用就是力×力臂=力矩。向量叉乘的行列式计算方法为（a=(l,m,n)，b=(x,y,z)）：
a×b=
|i j k|
|l m n|=(mz-ny)i+(nx-lz)j+(ly-mx)k=((mz-ny),(nx-lz),(ly-mx))
|x y z|
其中i j k分别为xyz方向的基向量（高中叫基底）对于i j k每一个方向的计算，其实就是下两行里的一个十字相乘（可以自行动手画一下）。
求二面角夹角的正弦值：
由定义可知|a×b|=|a||b|sin<a,b>
所以sin<a,b>=|a×b|/(|a||b|)，不需要算出余弦值再换算正弦值
