一道集合问题解答的“一波三折”

        有这样一道题：

        已知集合A={(x,y)|y^2=2x},B={(x,y)|(x-a)^2+y^2=9},求使A∩B≠Φ的充要条件.

        初读此题,感觉不过如此,只要集合中的两个二元二次方程组成的方程组有解即可.于是提笔写下这样的解答过程:

  解:要A∩B≠Φ只要y^2=2x和(x-a)^2+y^2=9组成的方程组有解,消去y^2整理得关于x的一元二次方程x^2+(2-2a)x+a^2-9=0,此方程有解.于是Δ≥0,即(2-2a)^2-4(a^2-9)=4(1-2a+a^2-a^2+9)=4(10-2a)≥0,解得a≤5.

        然而,事情往往不象想像的那么简单.当我拿着这样的自以为不会有啥意外的答案站在讲台上给学生讲解时,却真的出现了意外.因为当我写完了上面的答案,继续向学生解释说,等我们将来学习了解析几何中的圆锥曲线之后,我们会知道这道题其实是要我们来求出开口向右的抛物线y^2=2x和圆心在x轴上运动的半径等于3的圆(x-a)^2+y^2=9有公共点的充要条件,我甚至还向学习努力地解释方程y^2=2x为啥表示开口向右的抛物线,而且方程(x-a)^2+y^2=9为啥表示的是圆,但同时我自己的心里却忽然感觉刚刚给出的答案是不完整的,因为当这个运动的圆从x轴的右边向左边移动时,开始和抛物线没有公共点,在a=5时有了两个公共点,上下各一个,在关于x轴的对称位置上,接着会有四个,当圆刚好过原点时是三个,继续向右时,会变成一个,就在原点,再向右运动则会没有公共点,也就是说,a的值不可能是小于5的所有值,在左边一定还有界限,它会是谁呢?为什么我们的答案却不是这样?

       于是我只好告诉学生,刚才的解答还不完整!我们有重新来读题,想看看问题出在哪里.果然,方程y^2=2x既然表示的是开口向右的抛物线,而且顶点是在坐标原点,那就是说,x轴的负半轴上下没有图像,即x≥0,这就是说,上面是关于x的一元二次方程

        x^2+(2-2a)x+a^2-9=0不仅有解,而且必须有非负解.仅有Δ≥0是不够的,还要加上对称轴-(2-2a)/2≥0,f(0)≥0,但是解出答案以后却是1≤a≤5,依然和刚才利用图像作出的解释有出入!到底哪里又出了意外?

       回头再看画在旁边的图形,当动圆从右向左离开原点那一刻,圆心应该在(-3,0)点,为啥计算出来的结果会是a≥1呢?再次仔细阅读写在黑板上的解答过程,我终于看到了一句话:有非负解!问题就出在这里!有非负解并不是说都是非负的,而上面的解答是要求所有解都非负,要求过严了,还可能有其中的一个非负.于是还要加上一负一正,一负一零两种情形,即f(0)<0和Δ>0且f(0)=0且对称轴-(2-2a)/2<0,这样得到的范围就是-3≤a≤5.跟前面利用两个方程的曲线分析的结果是一致的.

       这个题目的解答过程是漫长的,用了将近两节辅导课的时间才终于有了比较完整的结局.真的可以说是"一波三折".先是没有注意到题中的隐含条件"x≥0",导致在转化时认为一元二次方程x^2+(2-2a)x+a^2-9=0有解,从而使a的取值范围扩大;接着在利用方程的曲线分析时发现了这个失误,于是按照一元二次方程x^2+(2-2a)x+a^2-9=0有非负解来解答,却狭隘的认为上面的一元二次方程只有非负解,主观的缩小了a的取值范围,还是和利用图象分析的结果不一样;回过头来再次对解答过程仔细斟酌,才发觉对一元二次方程有非负解这句话理解的太极端了,有非负解不仅指的是全部是非负解的情形,还包括了部分解非负的情况,于是再次补充了一负一正,一负一零两种情形.最终才有了完整的结果.

       从这里可以看出,许多题目的解答,首先要注意对条件的把握,不仅是明显的已知条件,还有隐含条件,而且后者往往对题目的准确解答起着关键作用;再者,对于题目进行转化时一定要保证等价转化,否则同样会前功尽弃.

       还有一点,这道题在上述的解答过程中涉及到了高中数学的四种基本思想方法:先是化归与转化的思想,把集合的运算问题转化为方程组有解的问题,接着有转化为一元二次方程有非负解的问题,再次转化为解不等式组的问题;其次用到了函数与方程的思想,无论是解方程组还是解一元二次方程都属于这种思想方法的运用;在利用方程的曲线分析题目和转化一元二次方程有非负解时都利用了数形结合的思想;在求使一元二次方程有非负解时又用到了分类讨论的思想.尽管这道题的解答有些烦琐冗长,但这个过程是真实存在的,我在这里分析这个"一波三折"的过程也是有其意义的.希望以后遇到类似的题目会少走一些弯路.

 (2006-10-15 14:24:51)