20世纪数学经纬，张奠宙著 8 传奇的印度数学家——拉马努金

　　20世纪初，一颗天才的数学亮星在印度升起.他的传奇经历至今仍为人们惊异不已： 没有正规学历，贫病交迫，哈代发现天才，不按常规做数学却发表了大量的数学成果，33岁去世，留下3卷笔记本······这,就是拉马努金(Srinivasa Aaiyangar Ramanujan,1887~1920). 　　1991年，一本有关印度天才数学家拉马努金的传记出版，书名是《一个博学的人——拉马努金天才的一生》(The ManWho Knew Infinity——A Life of Genius Ramanujan).有关这位传奇数学家的研究出现了新的高潮.作者写道：“1987年，当拉马努金诞生100周年时，他的声誉闪耀着新的光辉.”在印度，他和尼赫 拉马努金鲁、诺贝尔物理学奖获得者拉曼(Chandrasekhara Venkata Raman, 1888~1970) 几乎同时举行诞生百年的纪念活动.有关他们三人的生平在印度都已摄制成电影.“拉马努金数学会”在1986年成立，同年，出版了该会杂志的第一卷. 　　1887年12月22日，拉马努金出生于印度南部的城市埃罗特(Erode),幼时由祖父母照看,父亲在昆巴科南(Kombakonam)的一间服装店任会计，拉马努金也在那里长大成人. 这两个地方离开印度的大城市——马德拉斯(Madras)约240千米. 　　拉马努金的少年时代没有确切的记载可查.传说他在12岁时借阅过龙内(Loney)写的《三角学》(Trigonomrtry).此书的内容远超过三角学，还包括指数函数、复数的对数、双曲函数、无穷级数、无穷乘积，以及三角函数的展开.可以肯定的是，拉马努金在15岁时从当地“政府学院”里借过卡尔(Carr)著的《纯粹数学基本结果提要》(Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics)一书，而且为它着了迷.卡尔是英国剑桥大学的教师，这本《提要》汇集了他在教学中遇到的大约6000条定理，多半是微积分和几何，没有复变函数论和椭圆函数的知识.卡尔的书极少给证明，即使有，也非常简短.一般认为，拉马努金受卡尔此书的影响很深. 他的数学研究大多采取“只写结果，少给证明”的方式，恐怕是从卡尔的《提要》学来. 但是，拉马努金的早期贡献很多是关于椭圆模函数、复变函数的，却不知道他从何处获得这类知识. 　　1903年，拉马努金通过马德拉斯大学主持的入学考试，成绩一流，进入昆巴科南的政府学院就读. 但他完全沉浸在数学的学习和研究之中，不学任何其他的科目.一年之后，他在英语和生理学两科的考试中不及格：因而退学.四年之后，1908年，拉马努金又进入马德拉斯的帕采雅巴(Pachaiyappa)学院，也是因同样的原因未通过考试而离校.这已到了1909年，拉马努金结婚了.没有人知道拉马努金在1903~1910年间是如何研究数学的，现在只看到他写下的大量的笔记. 　　马德拉斯地方行政机构的常任税务官V. R.艾亚(V. R. Ai-yar)，也是印度数学会的奠基人. 1910年，已结婚的拉马努金需要挣钱养家，就设法求见艾亚，说明他的数学能力，并希望在他的办公室里安排一个工作.艾亚转而介绍给拉马努金以前在昆巴科南的政府学院时的老师 P. V. S.艾亚(P. V. Seahu Aiyar),P. V. S.艾亚再转给另一位比较富裕的数学家拉奥(R. Ramachandra Rao,1935~ ).拉马努金的数学笔记本给拉奥很深的印象，因而毫不犹豫地按月给拉马努金发薪，使他能继续从事数学研究，而不必担心基本的生活.可以说，拉奥是认识拉马努金数学天才的第一人. 1911 年，拉马努金的第一篇数学论文在《印度数学会杂志》(Journal of Indian Mathematical Society)上发表. 1912年2月,拉马努金在马德拉斯海港托拉斯的办公室有了一份工作，年薪30英镑.这个托拉斯的主席是英国工程师斯必林(F. Spring)，经理则是数学家S. N.艾亚(S. N. Aiyar). 他们两人都对拉马努金的生活十分关心，并鼓励他和英国数学家进行联系. 　　拉马努金曾和两位英国数学家联系过，但没有热烈的反应.1913年1月16日，拉马努金给英国数学大家哈代写信，信中希望“在你的朋友中能有人对我的工作怀有好感”.哈代收到信之后，开始也没有当一回事.因为那时来信说“已经证明了费马大定理”的人很多.收信后的那天晚上，哈代和李特尔伍德在三一学院从休息室走向下棋室时，哈代说起有一个印度人来信，他要么是怪人，要么是天才.两人研究了两个半小时之后，一致判断为“天才”.信中所附的定理中，有些是错的，有些是已知的，但也有许多是新的.哈代后来回忆说，“信中关于连分数的一些结果，即使它不全对，恐怕也没有人能想象得出”. 　　哈代毫不迟延地给拉马努金复信，要他立即来英国剑桥，但由于印度的婆罗门种姓观念，以及拉马努金母亲的反对，拉马努金没有接受这一邀请. 另一方面，英国气象学家沃克(G. Walker)爵士写信给马德拉斯大学，希望给予拉马努金以正式承认： 从1913年5月1日起每月发给学者津贴75卢比，条件是每三个月写一个研究报告交来.拉马努金一共写了4个报告，现在还都保存着. 1914年初，剑桥数学家耐维尔(E. H. Neville)来马德拉斯大学演讲，任务之一是劝说拉马努金去剑桥. 大概是由于斯必林、沃克、耐维尔等人的努力，才说服了拉马努金的母亲. 1914年3月17日，拉马努金乘船去英国. 　　在英国的三年内，拉马努金过得十分愉快，且是数学多产的时期. 哈代说：“拉马努金几乎每天都有半打的新结果出来.”拉马努金在欧洲一共发表了21篇论文、17篇注记. 1918年，他当选为英国皇家学会会员.关于拉马努金的数学才能，有许多神奇的传说.有一次，哈代到医院去看望拉马努金，所坐的汽车号码是1729，哈代想了一想， 没有什么结果.在病房里说：“这个数没意思.”拉马努金说：“不，这个数字很有趣，因为这是能用两种方法表示为立方数之和的最小整数，即 1³+12³=1729=9³+10³.” 这一传说相当可靠，因为拉马努金早些年曾考虑过这一数字，并在笔记本上有所记载. 　　尽管在剑桥有良好的生活条件，但是，拉马努金不适应英国潮湿的气候， 1917年开始患上了肺结核.他住过5次疗养院，有护士照看，但体重不断下降. 他于是想回印度.当第一次世界大战结束，海路通行时，拉马努金于1919年2月启程回国.在印度，他继续研究q-级数,写下了一本笔记(被称为遗失的笔记(Lost notebook)).印度的气候并没有使病情好转，1920年4月16日，拉马努金去世. 　　对于拉马努金的早逝，哈代十分惋惜.他一直帮助整理拉马努金的数学发现，给予高度的评价.1936年，哈代在美国的哈佛大学作了两次演讲，介绍拉马努金的工作，并把这两次演讲扩展成一本专著，书名就是《拉马努金》，1940年由剑桥大学出版社刊行， 1959年在美国重版(切尔西(Chelsea)出版社，纽约).拉马努金的《论文选集》(Selected Papers)也由切尔西出版社出版. 　　但是，人们更感兴趣的是拉马努金未曾发表的3本笔记本，以及前面提到的“遗失的笔记”(那是近100页散失的手稿)，其中记载着许多公式和定理. 拉马努金1919年回国时把第一本笔记留在哈代那里，一年之后由哈代交给来剑桥访问的马德拉斯大学图书馆馆长. 第二、第三本在拉马努金去世后，也捐给了马德拉斯大学图书馆.哈代根据第一本笔记，用了整整4个月的时间，写了一篇论文:《拉马努金笔记中的一章》(A Chapter from Ramanujan'sNotebook)[7]， 介绍其中的一章——超几何级数， 指出拉马努金发现了很多重要结果，其中许多是新的，这引起更多人的关注. 　　1974年，比利时数学家德利涅证明了拉马努金的“τ猜想”.这是关于数论函数τ(n)的一个渐近估计式：|τ(n)|≤2（n^α）,其中α=（11/2）. 拉马努金本人证出α= 7，哈代降到6，他的学生兰金(Robert Alexander Rankin, 1915~ )降到α=（29/5）,但还不到（11/2）.最后德利涅用现代的代数几何工具，出人意料地完全证实了拉马努金的猜想.这一工作使德利涅获得1978年的菲尔兹奖.拉马努金的数学天才也进一步得到数学家的重视. 　　早在1920年代，哈代就曾强烈地呼吁整理拉马努金的笔记，并加以出版. 1929年,沃森(George Neville Watson, 1886~1965)和威尔森(B. M. Wilson)着手进行编辑.威尔森做了大量的工作，却不幸于1935年早逝(仅38岁)，沃森也做了一些， 后来转去做其他事了.以后，第二次世界大战开始，此事只得搁下，直至1947年哈代去世，笔记未能整理完成. 1949年，马德拉斯大学图书馆将笔记拍照制成3份拷贝.1954年，印度数学会在新德里开会，建议出版笔记.最后，由印度塔塔基础科学研究所将拉马努金的笔记分成两卷，于1957年影印出版，这样，在世界各主要图书馆，都可以见到笔记本的内容了. 　　然而，拉马努金的笔记需要整理才能为大家所理解. 1974年1月，美国数学家伯恩特(Bruce C. Berndt)在普林斯顿高级研究所访问，偶然看到一篇文章，用其中的结果证明了拉马努金笔记本中的两条定理.这使他对笔记本发生兴趣.大约从1977年的5月起，伯恩特来到伊利诺斯大学，打算把笔记本里第14章的公式全部证明出来. 1988年，计算机检索开始启用，有关拉马努金笔记本的论文已有三百余篇.伯恩特全身心地投入这一工作，把目标进一步扩大，打算把拉马努金的笔记中每一个公式和定理都加以证明(如果别人已经证明过，只引出文献)，共分三卷出版. 1985年，《拉马努金笔记(第一卷)》(Ramanujan’s Notebooks(Part I))由施普林格出版社(Springer-Verlag)正式刊行.第二、第三卷也在1990年和1995年先后出版. 　　伯恩特在该书的引言中，对拉马努金的笔记作了总体的评论，其要点为： 　　1.哈代在看过第一本笔记后曾估计，其中约有三分之二是重复别人的结果，只有三分之一是新的.伯恩特认为，总的说来，新的成分不止三分之一.此外，有些结果是交叉在一起的，拉马努金的一个公式是好几个人的结果的总和，这也是有新意的. 　　2.笔记并非提交发表的论文，尚未经充分核查，有错是难免的. 但是错误只出现在一些局部的结果上，整体地看，没有发现大的错误. 　　3.笔记的结果包含一部分论证，但多数没有给出证明.笔记是给自己看的，许多证明也许觉得不必写出.同时，家境的困难也不允许大量用纸，有些笔记是写在包装纸上的. 　　4.拉马努金给出的这些论证以现在的标准来看，严格性是不够的.他常常用级数的形式运算，积分和级数随意交换，取极限而不考虑收敛与否等等. 但伯恩特认为，他的缺点也许正是他的优点. 由于没有那些框框，所以他能把他敏锐的直觉写下来. 如果都要详细论证才写，笔记本里的许多天才的新成果，就不会出现，这将是一个损失. 　　总的来说，伯恩特同意哈代的论断，基本上，拉马努金的思考方式和我们大多数数学家是一样的. 他运用直觉猜测，和已知结果作比较，并设法给证明.只不过证明的严格程度和今天的标准不同而已.许多传说故事讲拉马努金在梦中接受神的指点，那是无法证实也无法否认的事，我们看到的笔记是有目的、有系统的数学思考的结果.如果想到拉马努金当时是何等孤立，没有任何参考书和与别人讨论的机会，他能作出如此精确的判断，决非侥幸之事. 至于他的真正思考过程，他的数学研究方法，仍是一个没有完全解决的谜，值得后人继续研究.一个较为合理的说法是，古印度和古希腊的数学传统是不一样的，古希腊强调逻辑演绎，古印度崇尚归纳和直觉. 现今数学的严格性是人为的，从拉马努金的研究风格来看，也许这种规范还有改进的必要. 印度数学有过辉煌的历史，但在近代已渐渐没落.沦为英国殖民地之后，传统数学更停止发展.19世纪50年代英国殖民政府建立现代意义下的大学，数学教学的内容完全按欧洲的传统设置. 　　印度的数学在拉马努金之后有许多发展，特别是1947年印度摆脱英国殖民统治而独立后，教育系统逐渐完备，数学教育水准有很大的提高.不过大学的数学课程改革不够，教学内容相当陈旧，数学研究也很弱.印度的数学研究集中在两个研究所，一个是孟买的塔塔基础研究所(Tata Institute of Fundament of Research,简称TIFR)，1945年建立；另一个是1931年设在加尔各答的印度统计研究所(Indian Statistical Institute,简称ISI).这两个研究所设有研究生院,TIFR 由钱德拉塞赫兰(Komaravolu Chandrasekharan,1920~ ) 领导, ISI 则由拉奥(Calyampudi Radkakrishna Rao, 1920~ )负责，都有很高的水平. 不过，像许多发展中国家一样，一些优秀的数学家都是在国外受教育和工作的.最著名的要数哈里希-钱德拉(Harish-Chandra, 1923~1983),他在李群表示论上的工作，属于世界一流. 　　有人曾比较拉马努金和哈里希-钱德拉的某些相似之处[4].例如，哈代曾这样评论拉马努金：“他发现了ζ函数的函数方程，但他从未听说过双周期函数或柯西定理，事实上连模糊的复变函数概念也没有……”另外，著名的数论专家朗兰兹在评论哈里希-钱德拉时说：“他从事数学相对较晚，尽管有很强的原发性意念，但有很多数学领域他从未认真涉猎过……可以毫不夸张地说，他在需要时就自己制造工具，一个本世纪的宏伟数学理论是被一个只学过高等微积分课程的人构造出来的.”两人的相似之处，还是很明显的. 　　1995年，在伯恩特工作的伊利诺斯大学，召开过一个国际会议，专门讨论拉马努金的笔记.拉马努金之谜，仍在继续着. 参考文献

[1] Hardy G H. Ramanujan: Twelve lectures on subjects suggestedby his life and work. New York: Chelsea Publishing Company,1959 [2] Berndt B C. Ramanujan's notebooks. Part I, II, III. New York:Springer-Verlag, 1985~1995 [3] Ramanujan A S. Collected Papers. New York: Chelsea Publish-ing Company, 1962 [4] Kumar V. Ramanujan and Harish-Chandra. The MathematicalIntelligencer, 1993, 15(2) [5] Kanige l R. The man who knew infinity: a life of genius Ramanujan. New York: Charles Scribner’s Sons, 1991 [6] Berndt B C & Rankin R A. Ramanujan: Letters and Commentary. Providence: American Mathematical Society, 1995 [7] Hardy G H. A Chapter from Ramahujan’s Notebook. Cambridge Phil. Soc., 1923, 21: 492~503