【数学基础60】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）
预备知识：
lim（1+1/n）^n=e.
公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；
双重向量积：给定空间三向量，先作其中两个向量的向量积，再作所得向量与第三个向量的向量积，那么最后的结果仍然是一向量，叫做所给三向量的双重向量积。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一个双重向量积；
性质：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；
（axb）xc=（ac）b-（bc）a；
拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；
（axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a；
（axb，cxd，exf）=（a，b，d）（c，e，f）-（a，b，c）（d，e，f）.
矩阵乘法运算律——
a.结合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A
e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。
矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。
矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；
设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A
方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）
矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'，|A'|=|A|。
定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反/斜对称矩阵。
定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。
矩阵转置运算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'。
参考资料：
《数学分析》（华东师范大学数学系 编）
《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）
《高等代数题解精粹》（钱吉林 编著）
数学分析——
例题（来自《数学分析（华东师范大学数学系 编）》）——
利用lim（1+1/n）^n=e求下列极限：
a.lim（1-1/n）^n
b.lim（1+1/n）^（n+1）
解：
a.
（1-1/n）^n
=[（n-1）/n]^n
={1/[n/（n-1）]}^n
=1/[1+1/（n-1）]^n
={1/[1+1/（n-1）]^（n-1）}{1/[1+1/（n-1）]}；
lim（1-1/n）^n
=lim{1/[1+1/（n-1）]^（n-1）}lim{1/[1+1/（n-1）]}
=（1/e）*1
=1/e
b.
lim（1+1/n）^（n+1）
=lim[（1+1/n）^n]lim（1+1/n）
=e*1
=e
解析几何——
例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——
两个非零向量e1，e2不共线，设AB=e1+e2，AC=2e1+8e2，AD=3（e1-e2），试证A，B，C，D共面。
证：要证A，B，C，D共面，即证AB，AC，AD共面，即证其混合积为0——
（AB，AC，AD）
=（e1+e2，2e1+8e2，3（e1-e2））
=（（e1+e2）x（2e1+8e2））（3（e1-e2））
=3（2e1xe1+2e2xe1+8e1xe2+8e2xe2）（e1-e2）
=18（e1xe2）（e1-e2）
=18（e1，e2，e1）-18（e1，e2，e2）
=0，证毕.
高等代数——
例题（来自《高等代数题解精粹（钱吉林 编著）》）——
设A^2-A-6E=0，证明A+3E是可逆矩阵，并将它的逆矩阵表为A的多项式。
证：
（A+3E）（A-4E）
=A^2-A-12E
=（A^2-A-6E）-6E
=-6E；
（A+3E）[-（A-4E）/6]
=E，则A+3E是可逆矩阵，（A+3E）^（-1）=-（A-4E）/6.
到这里！
