一山更比一山高，講講福建質檢數學！大題你會幾道？

不知道为啥没有人说22 (2)题的一个非常简单的方法……

假设存在，则公切线斜率为k=f'(x₀)=f'(x₁)，截距为f(x₀)-x₀f'(x₀)=f(x₁)-x₁f'(x₁) .

由斜率的等式知存在实数k使得f'(x)的图像交水平线y=k于相异的两点. 在(1)问中将a替换为a+1可知f'(x)在(-∞, -a-2]单减，在[-a-2, +∞)单增. 于是k>f'(-a-2)，不妨设x₀<-a-2<x₁ .

固定这个k，令F(x)=f(x)-kx. 由截距相等F(x₀)=F(x₁)知F(x)的图像交一水平直线于横坐标为x₀和x₁的两点. 但另一方面，由F'(x)=f'(x)-k知F(x)在(-∞, x₀]单增，在[x₀, x₁]单减，在[x₁, +∞)单增，从而F(x₀)>F(x₁)，矛盾. 从而满足题意的a, x₀, x₁不存在.