Derivitiva的数学快速入门（1）——写给初中生的对数快速入门

大家好，今天开始给大家写一个快速入门系列！包括但不限于数学、电脑、历史、编程等知识，面向零基础，给学有余力的童鞋拓展思路。别急，我知道很多人看到学有余力就自动排除自己了，哈哈，不是这样的，这篇文章真的比较简单，大部分朋友都可以看懂例题的解答，脑子里过一遍我写的东西，有思考的行为，就达到我的目标啦。我一向是以思路为重，现在您学习的不仅是知识，也是解题思路。我希望我有时偏题讲的小故事也会让您感觉到数学是快乐的。这个系列，旨在让您收获知识的同时，发现学习的快乐，领会“站得高”给您带来的优势，给您带来站在巅峰上的自信！

对数是高中数学几乎最简单的内容，高考很少专门去考这个东西，跟基础好的朋友我都是一句话搞定的。学会它，可以解决不少问题，但又没什么难度，何乐而不为呢？

对数的定义 如果，那么

其中叫做底数，叫做真数。其实不太容易记混！底数就是底下的那个！如你所见，底数要写的小一点，和真数区分开。当然如果真数是多项式，要加括号。

现在我们已经可以解一些指数方程了！比如

例1 解方程：

解 

做完这道题，我们反过来思考以下题目：

例2 若，求.

解 由，得.故.

当然，由对数的定义，我们有恒等式.

熟练之后，我们直接代入得

从中总结规律，可以得到对数运算的一条重要性质

对数性质1  

这条性质的证明极为简单：

证明 令，则。将方程两边同时次方，得.

因此，即.

欲证右半边成立，先令，则.

仍然将方程两边同时次方，得，因此，等量代换得证.

此外，对数还有两条基本性质.甚至是初中卷子新定义题目做过的.

对数性质2   

证明 令，则.

将这两个式子相乘，得到，因此

将两式相除便可证明减号的形式.

运用这些性质，您应该很清楚如何化简一个对数了吧.

还有最后一点，人们为了方便，还将两个特殊底数的对数速记了，它们是：

lg叫做常用对数，ln叫做自然对数.

这里的e是一个数学常数，而且是无理数，叫做自然常数，也叫做欧拉常数，约等于2.718281828.她和ln函数将会陪伴您度过整个数学生涯.和e是数学世界最重要的两个无理数，提一嘴，数学世界还有几个重要的数：0、1，以及虚数单位，我们会在后面给大家讲解的。它们满足重要的，美丽的，被称作为上帝公式的欧拉公式，即.

来讲故事了奥.欧拉是数学史上最重要的人物之一，如果有人逼着我追星，那么他就是我的爱豆了.相传有一次，俄国叶卡捷琳娜二世厌烦了狄德罗关于无神论方面的说教，于是安排欧拉去好好怼一下这个老顽固，因为欧拉一生都是一位虔诚的基督徒，笃信上帝.欧拉推开门，直截了当地说：“因为，所以上帝存在！”狄德罗哑口无言.这也让欧拉公式拥有了“上帝公式”的美名.欧拉非常具有人格魅力，主打“德馨”，比那个时期各路数学家大多要强.据说当时“数学王子”高斯收到伽罗瓦的论文，却没仔细看就说没啥用，因为他认为别的数学家不可能有这个年纪就比他厉害的了.而别的数学家去看，有的看不懂，甚至有一个看了就死了，他三次呈送论文，最终他都没有受到重视，死后大家才意识到他的研究的重要性.欧拉却始终很谦虚，曾经哥德就将哥德巴赫猜想写信给欧拉看，据说欧拉尝试证明了，但可惜的是他至死没能证明这个猜想，这个猜想也留到了现在.

（这相当于课间十分钟罢）故事听完了，接下来我们做几道简单的对数题.

例3 求值：

解 对数运算中，提取公因数很有用，因为对数能把加法化成乘法.运用.

原式=.

例4 解方程：

解 换元法即可，令，则，即

注意若，因此仅有，则.

接下来迎接对数的终极公式：

对数换底公式 

首先，它解决的问题是，我们的所有对数公式都是要同底数才能使用的，现在有了这个公式，我们便可把不同底数的对数换成同一个底数了.其次，这里的只要是正数，不等于1即可成立，这意味着，我们可以任意令c为任何数.这样，我们可以得出这个公式两个特例：

（1）令，则，由此我们证明了，一个对数的底数和真数互换，得到的结果为原来对数的倒数.

（2）令，则.这么写的好处是，写起来方便，尤其是ln函数，也容易和别的知识点结合.因此实际做题时，不需要您费心思把一个的底数换成另外一个，只需要都换成ln就可以了.

接下来证明这个公式.

证明 令,则.分别记为1、2、3式.

将3式次方，得，与1式比较，得.

再与2式比较，发现,因此，也就是.

运用这个公式，很多题目迎刃而解.

例5 已知都是不为1的正数，且，求.

解 运用对数换底公式.，真不错，ln(c)消掉了..

运用对数换底公式.原式=

于是就做完了.根据对数基本性质，结合上文等式，所求为1.

例6 已知，求.

解 初中遇到比例的连等式，经常设全部等于k吧，这里一样.

设

接下来我们便可以用k表示x,y，同时又能表示xy，这样我们就能建立等量关系了吧.

因此.

严谨点来说，先得证明ln(t)不为0.实际上，题目中的便是这个用处.既然两数不为0，我们知道，当且仅当时，，那么，当且仅当时，那么.（补充：严谨的说只有运用函数的单调性才能证明大于，但是我们已经可以证明不等于0了，只是这样子写更加全面一些）

消去ln(t),得，当然可以解出来，但用处不大.作为一个整体回代到x、y关于k的关系式中，可得出

大家可以发现，对数的题目实在简单！因此阔爱的出题人朋友们便开始结合别的知识点考！比如我的均值不等式题：Derivitiva均值不等式+对数一题.

那么这里有一道低配版的不等式题目，实则已经是高考题了，所用知识点为基本不等式.

简单的说，就是当a,b为正数时，.当且仅当a=b时取得等号，此时便是取得了最小值.后面会有不等式快速入门.

哦对了这题还有一丁点超纲，不等号两边可以同时取ln的，这个也是由函数单调性才能知道的.

挑战题 试比较的大小关系.（）

解 先无脑对数换底公式

接下来没思路很正常，不过告诉您取对数经常可以被用来证明关系大小，主要因为对数可以把指数提到前面去这个很好的特性.

题目给出的两个不等式，我们可以取一下ln试试.

，即.第二个得出.

因此我们已经证明了：.

那么第一个数怎么办捏？既然前后都是以0.8为分界线，我们可以用作差法比较：

为了看看这个数是正是负，我们只需要比较两数大小.

这里没必要凑数了吧，咱直接死算就行了..

我前面说不等号两边可以都加上ln，那么由便可得到：.

也就是.

非常的不幸，这两个都是小于号，意味着我们还必须比一下第一第二个数的大小.

分母当然正的，分子便不好说了.现在就要请出我们的基本不等式君了！

这个便是变形过的基本不等式了.平方一下，不等号换一个方向即可.另外为什么没有等号了捏？因为，取不到等号.如此，

那么作差的结果是原式小于0，结论是.

综上所述，.

这道题还挺难的是吧，作为一道小题，确实能拖住考生不少时间呢.不过这题还是主要算不等式题吧，对数只是一个背景罢了.也可以看看我的那题，其中有一个1的妙用，这也是不等式的一个重要技巧，和对数关系不大.

另外对数函数的性质非常特殊，不过现在不太方便，如果做成视频我可能会写这一块。大家先记住对数函数具有单调性即可，最简单的运用就是不等号两边即可以同时加上一个log啥，也可以去掉一个log啥.自然对数的性质更加特殊，它和e^x这个函数是反函数，关于y=x对称，很久之后会学到，它的导函数为1/x，不定积分为x(ln(x)-1)+C，从0到1的定积分正好为-1，这一切都是极为神奇的，不过学微积分是很久之后的事情辣，期待一下吧！

都看到这里啦，不考虑点个赞嘛，互关一下多一个数学朋友不好嘛！感谢您的支持，快速入门系列将会继续更新，也会考虑制成视频！再次感谢支持！