简谐运动位移公式的一种证明方法。(匀速圆周运动投影法)

  简谐运动有着很多种证明方法，但大多证明过程比较复杂(比如常用的二阶常系数线性微分方程的解)，对刚刚学完简谐运动的高中生并不太友好。在这里我想分享一种"定义法"，希望可以帮助同样想知道这个公式是怎么来的朋友较方便的理解。

  (注:这个证明仅供参考，如果存在任何问题都可以在评论区指出。)

证明：简谐运动的运动公式：y=Asin(wt+z)  (ps:z在这里暂时代表初相位)

  令：存在一坐标轴，有方程：X^2+Y^2=A^2（半径为A）

  我们假设：有一个小球m，在圆的轨道方程上作匀速圆周运动，方向速度向上（见图1）根据数学上的知识点，可以很容易得到这个点在x轴和y轴的相应数据方程，包括位移和力的大小。

  此时，有F向=mw^2A,大小恒定。

  又有：简谐运动的定义：简谐运动是最基本也最简单的机械振动。当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置。

  由我们学过的知识有回复力公式：F=-ky（K为一个常数，y是位移，-指方向。）

  又，我们可以先回忆一下我们高中学过的三角函数的知识点。如果按照我们画出的图来，那么我们可以得到如下的公式。

  y=Asin(wt+z)，x=Acos(wt+z),2兀/T=w

  上面的这两个公式是:小球m在坐标轴上的位移投影。也可以简单的认为:在t时刻，小球的坐标(x,y)。

  也就是说，现在我们需要证明的是:Y轴它确实是简谐运动，换句话说就是:这个小球在y轴的投影的运动过程，它为什么是简谐运动？我们刚刚说了简谐运动的定义，我们只需要证明它的竖直方向的分力和它的位移成正比，那么我们的问题就迎刃而解了。

  这个问题我们要怎么证明？如下图所示，我们对之进行受力分析。

  最终我们得到:F分=mw^2(A.sin(wt+z))

  我们可以发现，这个过程，它跟位移成正比关系，此时，它的位移应该是(A.sin(wt+z))，前面的mw^2可以试做k，也就是写成:F分=kx，再根据我们图上所得，可以发现力在方向和大小上都符合简谐运动的定义。

  同样的，我们还发现:如果我们进行受力分析的话，这个f在x轴上的投影分力为零，有速度的最大值。在两个最远端的时候，有力的最大值，但速度投影最小值。这是符合简谐运动规律的这一点可以证明我们的思路并没有出现太大的问题。

  那么，根据我们以上所得的信息:

因为，我们可以求出来它在y轴的投影位移公式。

又因为:我们在力学上，定义上证明了在y轴上的投影运动确实满足了简谐运动的条件和规律。

所以我们可以认为:匀速圆周运动在y轴的投影运动过程，数据是完全符合简谐运动的规律的，此时，Y轴投影的位移公式就是简谐运动的位移公式。

  在这里，我在附上一张手写证明过程:

  希望这些证明对这些感兴趣的人能有一些帮助，并希望那些有才华的人在评论区中指出我的错误或者改正建议。谢谢你们。