麻省理工学院 - MIT - 线性代数（我愿称之为线性代数教程天花板）

方程组的几何解释

分离系数、变量和结果（分别写作矩阵的形式），就可以将线性方程转化为：

Ax=b

从而可以得到在平面直角坐标系上满足方程的直线：

对于第一个线性方程2x-y0=来说，x=0时y=0，且x=1时y=2,此时得到一条直线：

这条直线就是第一个方程2x-y=0的解，这是显而易见的初中知识，同理，第二条直线也可以在平面直角坐标系中作出：

发现两条直线交于（1,2），这个点同时满足两个线性方程.

然而，列图像（column picture）才是重点：

这个方程的目的，是寻找两个向量正确的linear combination：

linear combination of columns.

这就把线性方程和向量的知识结合起来了.

x,y两个变量，实际上就是两个向量的伸长或收缩倍数！

啊，多么美啊。新世界交响曲！

下面是三元的情况.

现有三个线性方程组：

row picture是一种方法，column picture是另一种更重要的方法.

矩阵形式，使问题简化.

三个未知数，能够写出一个3x3矩阵,这就是三个方程的简化形式. 显然有列3=列1+列2.

对于刚才的两个方程组成的二元方程组来说，所有解的图像构成一个平面；在三元方程组中，任意二元也都有一个解平面.

（上面的黑板）

下面又是column picture的环节column picture的环节：

（下面的黑板）

每个向量均为三维向量.

这就是大家在高中熟悉的立体建系.

消元法elimination

Can I solve Ax=b for every b?

= Do the linear combinations of the columns fill 3 dimensional space?

这个问题引出了矩阵的秩的本质，确定维度.

在Ax=b中，A乘以x，矩阵乘以向量.

在上述例子中，答案是yes.但这有又出了另外一个问题：

When would I not be able to produce some b off here?

Singular case（奇异情况）这种情况下，矩阵不可逆，答案是No.

关于矩阵可逆的说明（弹幕）：

矩阵可逆，即说明该矩阵可以通过一系列基础变换得到单位矩阵，同时单位矩阵可以通过一系列基础变换得到任意矩阵.