A-3-2动量

2023-08-31 13:31 作者:夏莉家的鲁鲁 0人读过 | 我要投稿

3.2.1 速度关联

冲量+速度关联的问题，一般为平面问题。我们可以直接按照方程思想：

每个物体列2个冲量方程，再列相互之间的速度关联方程，最后解方程组即可。例如：

例1.三个质点A、B和C位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软的轻绳AB和BC连接，角ABC为 $%5Cpi-%5Calpha$ ， $%5Calpha$ 为一锐角，如图所示。今有一冲量为I的冲击力沿BC方向作用于质点C，求质点A开始运动时的速度。

解：

如图，设AB、BC绳中冲量大小分别为 $I_1%E3%80%81I_2$ ，三球速度分别为 $v_1%E3%80%81v_2%E3%80%81v_3$ ，则有

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20I_1%3Dm_1v_1%5C%5C%20I_2%5Ccos%5Calpha-I_1%3Dm_2v_%7B2x%7D%5C%5C%20I_2%5Csin%5Calpha%3Dm_2v_%7B2y%7D%5C%5C%20I-I_2%3Dm_3v_3%5C%5C%20v_%7B2x%7D%3Dv_1%5C%5C%20v_3%3Dv_%7B2x%7D%5Ccos%5Calpha%2Bv_%7B2y%7D%5Csin%5Calpha%20%5Cend%7Bcases%7D$
化简得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cdfrac%7BI_1%7D%7Bm_1%7D%3D%5Cdfrac%7BI_2%5Ccos%5Calpha-I_1%7D%7Bm_2%7D%5C%5C%20%5Cdfrac%7BI-I_2%7D%7Bm_3%7D%3D%5Cdfrac%7BI_2-I_1%5Ccos%5Calpha%7D%7Bm_2%7D%5C%5C%20%5Cend%7Bcases%7D$
也可以直接由速度关联写出上式。

解得

$%5Cbegin%7Bcases%7DI_1%3D%5Cdfrac%7BIm_1m_2%5Ccos%5Calpha%7D%7Bm_2(m_1%2Bm_2%2Bm_3)%2Bm_1m_3%5Csin%5E2%5Calpha%7D%5C%5C%0Av_1%3D%5Cdfrac%7BIm_2%5Ccos%5Calpha%7D%7Bm_2(m_1%2Bm_2%2Bm_3)%2Bm_1m_3%5Csin%5E2%5Calpha%7D%0A%5Cend%7Bcases%7D$

3.2.2 质心

由于质心动量

$m_cv_c%3D%5Csum%20m_iv_i$

系统动量守恒时，质心的动量不变。我们研究很多问题，可以把位移拆为质心位移加上相对质心的位移，这样计算起来比较方便，速度和加速度也可以这样操作。

例2.如图所示，匀质杆AB直立于光滑水平面上，稍受扰动杆将倾倒，A端在水平面滑动.取原触地点为原点，竖杆方向为纵轴，则当B点的横坐标为 $x_1$ 时，其纵坐标为多少？设杆长为2l.

解：由于水平面光滑，质心水平动量守恒，质心横坐标保持不变，即AB中点横坐标不变。A横坐标为 $-x_1$ ，由于AB距离不变，有

$(2x_1)%5E2%2By%5E2%3D(2l)%5E2$
故

$y%3D2%5Csqrt%7Bl%5E2-x_1%5E2%7D$

类似上述的这种问题，研究质心的运动规律更加简便。

3.2.3 匀速连续体

在课内我们已经解决过连续体的问题，比如计算水枪对墙的压力，水的密度为 $%5Crho$ ，水流截面积S，撞墙前的速度大小为v，水撞墙后反弹的速度大小为0，考虑短时间 $%5CDelta%20t$ 内撞到墙上的一小部分水柱 $%5CDelta%20m%3D%5Crho%20Sv%5CDelta%20t$ ，动量变化量大小

$%5CDelta%20p%3D%5Crho%20Sv%5E2%5CDelta%20t$

水柱对墙作用力

$F%3D%5Cdfrac%7B%5CDelta%20p%7D%7B%5CDelta%20t%7D%3D%5Crho%20Sv%5E2$

需要注意的是，在入射到墙壁之前，水柱之间由于速度相等，相互之间并没有作用力。所以这里只需要考虑墙壁对水柱的作用力。

当墙运动时，处理方法相类似：

例3.宇宙飞船在陨石碎块粒子流中，以速度v迎着粒子流运行。后来飞船转过头开始以速度v顺着粒子流方向运行。这时发动机的牵引力为原来的1/4．试求陨石粒子的速度。飞船可看做是两端平坦的圆柱形，而粒子与护板的碰撞是完全弹性的，且粒子流速度小于飞船速度。

解：发生弹性碰撞时，相对速度大小不变，速度变化量大小为相对速度的两倍。假设粒子流速度为u，建立相同的柱状模型得，逆着粒子流时，单位时间 $%5CDelta%20t$ 内撞到飞船上的粒子质量

$%5CDelta%20m%3D%5Crho%20S%20(u%2Bv)%5CDelta%20t$

速度变化量大小为2(u+v)，故作用力

$F%3D2%5Crho(u%2Bv)%5E2$

同理，顺着粒子流时作用力

$F%2F4%3D2%5Crho(v-u)%5E2$

联立解得

$u%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7Dv$

遇到斜入射的流体时，我们只需要计算垂直接触面方向的冲量即可。

例4.放风筝时，风沿水平方向吹来，要使风筝得到最大上升力，求风筝平面与水平面的夹角 $%5Ctheta$ .设风被风筝面反射后的方向遵守反射定律.

解：如图

假设风筝面积为S，水平方向风筝的截面积为 $S%5Csin%5Ctheta$ ，在单位时间 $%5CDelta%20t$ 内吹到风筝上的空气质量

$%5CDelta%20m%3D%5Crho%20Sv%5Csin%5Ctheta%20%5CDelta%20t$
垂直风筝方向的速度变化量为 $2v%5Csin%5Ctheta$ ，得对风筝的作用力

$F%3D%5Cdfrac%7B%5CDelta%20p%7D%7B%5CDelta%20t%7D%3D2%5Crho%20Sv%5E2%5Csin%5E2%5Ctheta$
竖直分量
$F_y%3D2%5Crho%20Sv%5E2%5Csin%5E2%5Ctheta%5Ccos%5Ctheta$
当 $F_y$ 最大时

$(%5Csin%5E2%5Ctheta%5Ccos%5Ctheta)'%3D%5Csin%5Ctheta(2%5Ccos%5E2%5Ctheta-%5Csin%5E2%5Ctheta)%3D0$
故

$%5Ctheta%3D%5Carctan%5Csqrt%7B2%7D$

例5.长为l、质量为m的一根柔软绳子盘放在水平桌面上，用手将绳子一端以恒定的速率v向上提起，求当提起高度为x时手的提力.

解：我们研究 $%5CDelta%20t$ 时间内的过程，此时研究的物体分为3部分，悬空的绳子（长度x）、正在从静止变为运动的一小段绳子(长度 $v%5CDelta%20t$ )，还有地上保持静止的绳子（长度l-x）。由于第3部分保持松弛，该过程中第2部分与第3部分之间同样是没有作用力的。

（1）我们可以对第一部分隔离分析，其受到自身重力 $%5Clambda%20gx$ ，手的提力F，还有地面上从静止开始运动的绳子向下的拉力 $F_1$ 。

考虑地上在 $%5CDelta%20t$ 时间内由静止到运动的小段绳，其质量

$%5CDelta%20m%3D%5Clambda%20v%5CDelta%20t$
悬空绳子对其拉力

$F_1%3D%5Cdfrac%7B%5CDelta%20p%7D%7B%5CDelta%20t%7D%3D%5Clambda%20v%5E2$
悬空的细绳匀速运动，受力平衡，故向上拉力

$F%3D%5Clambda%20gx%2B%5Clambda%20v%5E2%3D%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bl%7D(gx%2Bv%5E2)$
（2）我们也可以对前两部分整体分析

$p%3D(%5Clambda%20x)v$
故

$F-%5Clambda%20gx%3D%5Cdfrac%7Bdp%7D%7Bdx%7D%3D%5Cdfrac%7Bdp%7D%7Bdx%7D%5Cdfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%3D%5Clambda%20v%5E2$
后续同上，如果利用 $F_%7B%E5%90%88%7D%3Dm_ca_c$ ，用质心的加速度来列方程。与上式得到的结果相同。

3.2.4 变速连续体

当连续体速度变化时，其受力情况处理起来会更麻烦一些。

例6.一长为l，质量为m的匀质细绳团放在地上，以竖直向上的恒力拉绳子的一端，当绳的另一端刚好离开地面时，其速度为 $v_m$ ，求拉力F.

解：同上一题，把绳子分为同样的3个部分，对悬空的细绳受力分析得

$F-%5Clambda%20gx-%5Clambda%20v%5E2%20%3D%5Clambda%20x%20a$
直接求解比较麻烦，我们观察发现，当

$v%5E2%3Dv_0%5E2%2B2ax$
即匀变速直线运动时，方程成立。即

$F-%5Clambda%20gx-%5Clambda%20v_0%5E2-2%5Clambda%20ax%20%3D%5Clambda%20x%20a$
故

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20a%3D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7Dg%5C%5C%20v_0%5E2%3Dv_m%5E2%2B%5Cdfrac%7B2%7D%7B3%7Dgl%5C%5C%20F%3D%5Clambda%20v_0%5E2%3D%5Cdfrac%7Bmv_m%5E2%7D%7Bl%7D%2B%5Cdfrac%7B2%7D%7B3%7Dmg%20%5Cend%7Bcases%7D$
上面方程，直接求解也是可以的，利用 $a%3D%5Cdfrac%7Bdv%7D%7Bdx%7Dv%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cdfrac%7Bd(v%5E2)%7D%7Bdx%7D$ ，将其化简为一阶线性微分方程

$%5Cdfrac%7Bd(v%5E2)%7D%7Bdx%7D%2B%5Cdfrac%7B2%7D%7Bx%7Dv%5E2%3D%5Cdfrac%7B2F%7D%7B%5Clambda%20x%7D-2g$
解得

$v%5E2%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%5B%5Cint%20(%5Cdfrac%7B2F%7D%7B%5Clambda%20%7Dx-2gx%5E2)dx%2BC%5D$
即

$v%5E2%3D%5Cdfrac%7BF%7D%7B%5Clambda%20%7D-%5Cdfrac%7B2%7D%7B3%7Dgx$
代入 $x%3Dl%2Cv%3Dv_m$ ，得

$F%3D%5Cdfrac%7Bmv_m%5E2%7D%7Bl%7D%2B%5Cdfrac%7B2%7D%7B3%7Dmg$
答案与上面的方法相同。

例7.一质量为m的物块与质量线密度为λ的软绳相连.开始时，物块位于倾角为θ的斜面的顶端，而软绳则盘放在斜面顶端边的平台上，已知斜面及平台均光滑。现释放物块，让其沿斜面滑下，如图所示. 试求当m沿斜面滑下距离x（x小于绳长）时的速度.

解：建立沿着平台和斜面的自然坐标系，令 $M%3Dm%2B%5Clambda%20x$ .对软绳整体受力分析

$F_%E5%90%88%3DMg%5Csin%5Ctheta$
而总动量p=Mv，故

$(m%2B%5Clambda%20x)g%5Csin%5Ctheta%3D%5Cdfrac%7Bd(Mv)%7D%7Bdt%7D%20%3D%5Cdfrac%7Bd(Mv)%7D%7Bdx%7D%5Cdfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D$
化简得

$(m%2B%5Clambda%20x)g%5Csin%5Ctheta%3D%7Bd(Mv)%7Dv$
即

$(m%2B%5Clambda%20x)%5E2g%5Csin%5Ctheta%20dx%3D(Mv)d(Mv)$
积分得

$%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%5B(m%2B%5Clambda%20x)%5E3-m%5E3%5Dg%5Csin%5Ctheta%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D(Mv)%5E2$
解得

$v%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B2g%5Csin%5Ctheta%5B(m%2B%5Clambda%20x)%5E3-m%5E3%5D%7D%7B3%5Clambda(m%2B%5Clambda%20x)%5E3%7D%7D$
这道题如果对斜面上的绳子单独受力分析，从静止开始加速的那一小段绳子沿着斜面的受力方向不好判断，不方便求解。

上面绳子在绷紧的瞬间，速度与运动绳子速度立刻相等，类似完全非弹性碰撞，此时伴有机械能的损失。如果题目中明确了不考虑机械能损失，那我们用能量角度进行求解即可。下面我们用2种视角来求解同一个问题。

例8.一长为2l，质量为m的绳一端挂在天花板上，初态两端重合，现令自由端自由落下，求右边绳子下落x高度时，连接处的受力.

解：如图，绳子已经下落了x高度

（1）完全非弹性碰撞

我们将绳子分为3部分，右边正在下落的绳子（长l-x/2），左边静止的绳子（长l+x/2），以及从运动变为静止的绳子（长 $%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dv%5CDelta%20t$ ）

由于完全非弹性碰撞，最下方那一小段绳子立刻松弛，对右侧绳子没有作用力，故右侧绳子做自由落体运动：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20v%3Dgt%5C%5C%20x%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dgt%5E2%20%5Cend%7Bcases%7D$
以向下为正方向，整体的动量

$p%3D%5Clambda(l-%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D)v%3D%5Clambda(l-%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7Dgt%5E2)gt$
故

$mg-T%3D%5Cdfrac%7Bdp%7D%7Bdt%7D%3D(%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D-%5Cdfrac%7B3gt%5E2%7D%7B8l%7D)mg$
化简得

$T%3D(%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cdfrac%7B3x%7D%7B4l%7D)mg$

（2）完全弹性碰撞

此时需要增加条件，绳子为劲度系数非常大的弹性绳子，可不计机械能损失。绳子从运动变为静止时由于弹性会略微伸长，对右侧绳子产生弹力，右边的绳子不再做自由落体运动。

此时计算速度，需要利用动能定理。计算重力势能变化时，可以看成长度为x的绳子，质心下降了l-x/4的高度，故有

$%5Clambda%20xg(l-%5Cdfrac%7Bx%7D%7B4%7D)%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Clambda%20(l-%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D)v%5E2$
解得

$v%5E2%3D%5Cdfrac%7Bgx(4l-x)%7D%7B2l-x%7D$
整体动量

$p%3D%5Clambda(l-%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D)v$
化简得

$%5Cdfrac%7Bdp%7D%7Bdt%7D%3D%5Cdfrac%7Bdp%7D%7Bdx%7Dv%3D%5Clambda%20v%5B-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dv%2B(l-%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D)%5Cdfrac%7Bdv%7D%7Bdx%7D%5D%3D%5Cdfrac%7B3x%5E2-12lx%2B8l%5E2%7D%7B4(2l-x)%7Dg%5Clambda$
由

$mg-T%3D%5Cdfrac%7Bdp%7D%7Bdt%7D$
得

$T%3D%5Cdfrac%7B-3x%5E2%2B4lx%2B8l%5E2%7D%7B8l(2l-x)%7Dmg$

可见，两种不同条件下计算得到的结果是不一样的，具体是哪种情况，需要审题，看题目的要求。

3.2.5 密舍尔斯基方程

一系统在t时刻质量为m，速度为 $%5Cvec%20v$ ，在之后的dt时间内，有质量为dm，速度为 $%5Cvec%20u$ 的物体加入该系统，而系统所受的合外力为 $%5Cvec%20F$ ，则有

$%5Cvec%20Fdt%3D(m%2Bdm)(%5Cvec%20v%2Bd%5Cvec%20v)-(M%5Cvec%20v%2Bdm%5Ccdot%20%5Cvec%20u)$

化简得

$m%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%20v%7D%7Bdt%7D%3D%5Cvec%20F%2B(%5Cvec%20u-%5Cvec%20v)%5Cdfrac%7Bdm%7D%7Bdt%7D$

上述方程对所有的变质量问题都适用，对于火箭的升空问题，由于火箭质量在减小，此时dm取负值即可。而且此时喷出气体的相对速度为定值，使用上述方程比较简便。

例9.火箭从地面竖直向上发射.已知火箭自身质量为 $M_s$ ，燃料的初始质量为 $M_f$ ，燃气相对火箭的喷射速度为v'，单位时间的喷气质量为a.设在火箭上升的高度范围内g为常量，忽略空气阻力.试求：（1）火箭的推力F；（2）任意时刻火箭的速度（3）任意时刻火箭的上升高度；（4）燃料耗尽时，火箭的速度；（5）火箭达到最大高度所需的时间.

解：代入密舍尔斯基方程

$M%5Cdfrac%7Bdv%7D%7Bdt%7D%3D-Mg-v'(-a)$
(1)火箭的推力

$F%3Dv'a$
(2)令 $M_f%2BM_s%3DM_0$ ，由于

$dv%3D(%5Cdfrac%7Bv'a%7D%7BM_0-at%7D%20-g)dt$
积分解得

$v%3Dv'%5Cln%5Cdfrac%7BM_0%7D%7BM_0-at%7D-gt$
(3)由于v=dy/dt，积分得

$y%3Dv'(t-%5Cdfrac%7BM_0-at%7D%7Ba%7D%5Cln%5Cdfrac%7BM_0%7D%7BM_0-at%7D)%20-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Dgt%5E2$
(4)在(2)中，令

$t%3D%5Cdfrac%7BM_f%7D%7Ba%7D$
得

$v_m%3Dv'%5Cln%5Cdfrac%7BM_0%7D%7BM_s%7D-%5Cdfrac%7BgM_f%7D%7Ba%7D$
(5)考虑最后的竖直上抛运动

$t%3D%5Cdfrac%7BM_f%7D%7Ba%7D%2B%5Cdfrac%7Bv_m%7D%7Bg%7D$

3.2.6 习题

练1.如图所示，三个重物质量为 $m_1%3D20kg%EF%BC%8Cm_2%20%3D%2015kg%EF%BC%8Cm_3%20%3D%2010kg$ ，直角梯形物块质量为M=100kg.三个重物由一根绕过两个定滑轮P和Q的绳子相连.当重物 $m_1$ 下降1m时，忽略一切摩擦和绳子质量，求梯形物块的位移.