[翻译]锥线几何(Geometry of Conics)第一章：二次曲线的诸基本性质1.4(II)

2023-08-15 14:45 作者:瀰㴉夃 0人读过 | 我要投稿

本文译自A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, trans. Alex Martsinkovsky, Geometry of Conics, American Mathematical Society, 2007.
翻译：野吕侯奈因
仅供学习交流使用
译者按：
本书在几何爱好者之间小有人气，但目前网上只能找到一些零散的翻译．鉴于目前通行的数学教学中对于二次曲线问题的处理方式过于单一，希望能借翻译本书的机会来推广一下二次曲线的射影几何视角．

定理1.6. 若用一条首尾相连的绳索套住一椭圆 $%5Calpha$ ，并用一支笔将绳绷紧，绕着椭圆旋转一圈，它将画出一个与 $%5Calpha$ 共焦的椭圆（图1.19）．

（译者注：该定理常被称作格雷夫斯定理(Graves's theorem)）

证明. 显然，新图形（称其为 $%5Calpha_1$ ）的边界是光滑的．我们将说明以下结论：对于 $%5Calpha_1$ 上的任意一点 $X$ ，都有其与新曲线的切线和 $%5Cangle%20F_1XF_2$ 的外角平分线重合．

设 $XM$ 与 $XN$ 为其与 $%5Calpha$ 的两条切线．自然有 $%5Cangle%20F_1XN%3D%5Cangle%20F_2XM$ ，因此 $%5Cangle%20NXM$ 的外角平分线就会与 $%5Cangle%20F_1XF_2$ 的外角平分线重合，称其为 $l$ ．

设 $Y$ 为 $l$ 上的任意一点， $YL$ 与 $YR$ 为其与 $%5Calpha$ 的两条切线，就像图1.19中这样．我们不妨假定 $Y$ 位于 $X$ 左侧，其余情况也类似．

设 $P$ 为直线 $XM$ 与 $YL$ 的交点．不难发现有 $YN%3CYR%2B%5Csmallsmile%20RN$ 及 $%5Csmallsmile%20LM%3CLP%2BPM$ （译者注：在俄罗斯，人们使用 $%5Csmallsmile$ 来表示弧）．另外，由 $l$ 平分 $%5Cangle%20NXP$ 的外角，可得 $PX%2BXN%3CPY%2BYN$ ．于是有

$MX%2BXN%2B%5Csmallsmile%20NM$

$%3CMX%2BXN%2B%5Csmallsmile%20NL%2BLP%2BPM$

$%3DPX%2BXN%2B%5Csmallsmile%20NL%2BLP$

$%3CPY%2BYN%2B%5Csmallsmile%20NL%2BLP$

$%3DLY%2BYN%2B%5Csmallsmile%20NL$

$%3CLY%2BYR%2B%5Csmallsmile%20RN%2B%5Csmallsmile%20NL$

$%3DLY%2BYR%2B%5Csmallsmile%20RL$

（此处的弧都表示被绳索覆盖的弧）（译者注：可以试着想象在 $Y$ 处也挂着绳索）．那么就有 $Y$ 位于 $%5Calpha_1$ 外，此结论对于所有 $l$ 上异于 $X$ 的 $Y$ 都成立．这说明 $%5Calpha_1$ 只与 $l$ 有唯一的交点，也就是说， $l$ 与 $%5Calpha_1$ 相切．同时由此也说明了所求的曲线为凸曲线．

因此， $%5Calpha_1$ 上的点到 $F_1$ 和 $F_2$ 的距离之和不会随时间变化，故用笔画出的轨迹是就是一个椭圆．

（译者注：译者倒是不认为 $%5Csmallsmile%20LM%3CLP%2BPM$ 属于“不难发现”的范畴，故在此画蛇添足地补证一下：

事实上，我们可以证明以下内容：

命题. 对于凸曲线 $p%2Cq%3A%5Ba%2Cb%5D%5Cto%20%5B0%2C%2B%5Cinfty)$ ，若有 $p(a)%3Dq(a)$ ； $p(b)%3Dq(b)$ ； $%5Cforall%20x%5Cin%20(a%2Cb)%2Cp(x)%3Cq(x)$ ，则 $p$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上的长度小于 $q$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上的长度．

证明. 对于泛函

$L(f')%3A%3D%5Cint_a%5Eb%5Csqrt%7Bx'%5E2%2By'%5E2%7D$

$%3D%5Cint_a%5Eb%5Csqrt%7B1%2B(p'(x))%5E2%7Ddx$ ，

由 $s(x)%3A%3D%5Csqrt%7B1%2Bx%5E2%7D$ 为凹函数，有 $%5Cforall%20x%2Cy%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%20%2C%20%5Cfrac%7Bs(x)-s(y)%7D%7Bx-y%7D%5Cgeqslant%20s'%20(x)$ ，该结论可由拉格朗日中值定理及比例不等式得出．经整理，有 $%5Cforall%20x%2Cy%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%2Cs(x)%5Cgeqslant%20s(y)%2B(x-y)s'(x)$ ，故可得

$%5Cint_a%5Eb%5Csqrt%7B1%2B(q'(x))%5E2%7Ddx%5Cgeqslant%20%5Cint_a%5Eb%5Csqrt%7B1%2B(p'(x))%5E2%7Ddx$

$%2B%5Cint_a%5Eb%5Bq'(x)-p'(x)%5Ds'(p'(x))dx$

由积分第二中值定理，有

$%5Cexists%5Cxi%5Cin%20%5Ba%2Cb%5D%2C$

$%5Cint_a%5Eb%5Bq'(x)-p'(x)%5Ds'(p'(x))dx$

$%3Ds'(p'(a))%5Cint_a%5E%5Cxi%5Bq'(x)-p'(x)%5Ddx$

$%2Bs'(p'(b))%5Cint_%5Cxi%5Eb%5Bq'(x)-p'(x)%5Ddx$

$%3D%5Bs'(p'(b))-s'(p'(a))%5D%5Ccdot%20%5Bp(%5Cxi)-q(%5Cxi))%5D$ ．

又由命题条件，可得 $p(%5Cxi)%3Eq(%5Cxi)$ ；由 $s(x)$ 在 $%5B0%2C%2B%5Cinfty)$ 上单调递增且 $p(x)$ 为凸函数，有 $s'(p'(b))%3Es'(p'(a))$ ．因此有 $%5Cint_a%5Eb%5Bq'(x)-p'(x)%5Ds'(p'(x))dx%3E0$ ，而再由之前的 $L(q')%5Cgeqslant%20L(p')%2B%5Cint_a%5Eb%5Bq'(x)-p'(x)%5Ds'(p'(x))dx$ ，原命题得证．）

对于定理中最后的断言还有着更严谨的思路．若 $X$ 在椭圆之外，将笔放在 $X$ 的位置并把绳索套在笔和椭圆上．设 $f(X)$ 为绳索的长度， $g(X)%3A%3DF_1X%2BF_2X$ （其中的点应被理解为一对坐标，即 $f$ 与 $g$ 都作用在一组实数对上）．容易发现两函数都连续可微，且向量 $%5Cnabla%20f%3D(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2C%5Cfrac%20%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20y%7D)$ 与 $%5Cnabla%20g%3D(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20g%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cpartial%20g%7D%7B%5Cpartial%20y%7D)$ 在任意一点上都不为零．那么，由隐函数定理，用笔套一条长度固定的绳索（即取 $f$ 的一条等值曲线）画出的曲线是光滑的（连续可微）．于是这条曲线就可以用一可微函数 $R%3DR(t)$ 表示（同样代表一对切向量不为零的坐标函数 $x%3Dx(t)$ 、 $y%3Dy(t)$ ）．就像上文说的那样，该曲线的切向量 $%5Cfrac%7BdR%7D%7Bdt%7D%3D(%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%2C%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdt%7D)$ 切于 $g$ 的一条等值曲线，即垂直于 $R%3DR(t)$ 处的 $%5Cnabla%20g(R)$ ．来考虑函数 $g(R(t))$ ，其微分 $%5Cfrac%7Bdg(R(t))%7D%7Bdt%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20g%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cfrac%7Bdx(t)%7D%7Bdt%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20g%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cfrac%7Bdy(t)%7D%7Bdt%7D%5Cequiv%200$ （由前面提到的正交条件），也就是说 $g(R(t))$ 为常值函数，而这代表着该曲线落在一个具有相同两焦点的椭圆上．由于从 $F_1$ 出发的所有射线都会经过该曲线上一点，故该曲线与此椭圆重合． $%5Csquare$