《几何原本》命题3.25【夸克欧氏几何】

命题3.25：

已知一个弓形，可作出它的补圆

已知：弓形ABC

求：作弓形ABC的补圆

解：

连接AC

（公设1.1）

取AC中点D

（命题1.10）

过点D作BD⊥AC，交弓形ABC于点B

（命题1.11）

连接AB

（公设1.1）

当∠ABD＞∠BAD时

在AB上已点A为顶点，作∠BAE=∠ABD

（命题1.23）

延长BD，与AE交点记为点E

（公设1.2）

连接CE

（公设1.1）

证：

∵∠BAE=∠ABD

（已知）

∴AE=BE

（命题1.6）

∵BD⊥AC

（已知）

∴∟ADE=∟CDE

（定义1.10）

∵AD=CD，DE公用

（已知）

∴△ADE≌△CDE，AE=CE

（命题1.4）

∴AE=BE=CE

（公理1.1）

∴点E是圆ABC的圆心

（命题3.9）

∴可作弓形ABC的补圆

（公设1.3）

当∠ABD=∠BAD时

证：

∵∠ABD=∠BAD

（已知）

∴AD=BD

（命题1.6）

∵AD=CD

（已知）

∴AD=BD=CD

（公理1.1）

∴点D是圆ABC的圆心

（命题3.9）

∴可作弓形ABC的补圆

（公设1.3）

当∠ABD＜∠BAD时

解：

同理可证，点E是圆ABC的圆心

∴可作弓形ABC的补圆

（公设1.3）

证毕

此命题在《几何原本》中再未被使用

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