0 序言

0.1 声明：

本文旨在不使用微积分的条件下给出开普勒第 I 定律中关于行星轨道形状的证明，如果你精通微积分，行星轨道可通过求解（Binet）方程获得：

0.2 前提：

（1）本文仅讨论经典引力场下的二体运动（行星与恒星），忽略相对论效应、阻力和其他引力

（2）假设中心天体的质量足够大，不因行星的吸引而发生位移

（3）向量即矢量。本文用  表示向量，用  表示其大小（模）

1 预备知识

1.1 圆锥曲线

用平面截圆锥面，会得到一组曲线，即圆锥曲线。平面的倾斜程度不同，截得的曲线种类也就不同。

在极坐标下，所有圆锥曲线可统一表达为：

        

其中 （半通径）、（离心率）为常数。

离心率的大小决定曲线的具体种类：

当  时，曲线为圆 

当  时，曲线为椭圆

当  时，曲线为抛物线

当  时，曲线为双曲线 

1.2 向量外积

两个向量的外积可表示为：

不同于向量内积，两个向量的外积不是数，而是一个垂直于  所在平面的新向量，其方向可由右手确定：伸出右手，四指由被乘数握向乘数，拇指方向即为乘积方向

其大小满足：，其中  为  和  的夹角

三个向量的混合积满足：

   

（可用行列式证明，此处略）

1.3 角动量

质点绕定点转动时，其角动量可定义为：

其中  为定点指向质点的失径， 为质点动量。

与平动中的动量类似，角动量反映的则是物体转动时的运动状态。在平动中，若合外力为零，则系统动量守恒；同样在转动中，若合外力矩为零，则系统角动量守恒。行星公转时，受力始终指向中心天体，力臂为零，因而合外力矩为零，即行星绕恒星运动时角动量保持不变，这是开普勒第 II 定律成立的深层原因（见附录3.2）

2 行星轨道形状的证明

开普勒第 I 定律可表述为：行星绕日公转的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的焦点上

证明：

构造新向量   (拉普拉斯-龙格-楞次矢量，Laplace-Runge-Lenz Vector)

这个向量不论模样还是名字对初学者都不太友好，不过没关系，你稍后就会看到她有多神奇。

上式两侧同时点乘  :

设  与 的夹角为 ，则 ：

  

                      

                       

即：

 

整理得：

选择  的方向为极轴方向，则上述关系满足极坐标下的圆锥曲线方程。

证毕。

3 附录

3.1 轨道形状的讨论：

由  可知：

其离心率为    

如果你擅长复杂的向量运算，可以求得，并最终求得 ：

其中 代表行星的总机械能

由于角动量守恒， 是上式中唯一不确定的量，它将决定行星轨道的具体形状。

当  时，，行星轨道为椭圆

当  时，，行星轨道为抛物线

当  时，，行星轨道为双曲线（的一支）

有人会对  感到不解，能量怎么会是负值？事实上行星的总机械能由两部分构成：动能  和引力势能 ，其中引力势能恒为负值，这就造成了总机械能可能为负值。但肯定还会有人感到不解，引力势能也是能量，怎么会是负值？这与势能这种能量的特点有关。势能是相对值，当你谈论势能时，一定事先选好了零势能的参照位置（有时可能没意识到），比如你在计算二楼教室里的同学的重力势能时，通常已经默认地面是零势能面了。如果你选了二楼的天花板为零势能面，那此时他的重力势能就不可能是正值。人们在研究引力势能时习惯上规定无穷远处为零，此时行星受到中心天体的吸引做向心运动，引力势能不断消耗（转化为动能），因而为负值。

3.2 开普勒第 II 定律的证明

开普勒第 II 定律可表述为：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等

证明：

设太阳位于O，某一时刻，行星位于A，经历一个极短的时间间隔  到达A‘。由于时间间隔 很短，行星在此过程中可看作匀速直线运动。

此时行星与太阳的连线扫过的面积即为  的面积

同时行星的角动量守恒：

为常数

所以：

上述比值恒为常数，因此行星与太阳的连线扫过的面积与时间线型相关，相等的时间将扫过相等的面积。

证毕。

3.2 开普勒第 III 定律的证明

开普勒第III定律可表述为：行星轨道（椭圆）的半长轴的立方与其周期的平方之比为定值

证明：

由椭圆满足方程  可知：

其半长轴为  

其半短轴为  

当行星刚好公转一周时，其与太阳的连线扫过的面积即为椭圆形轨道的面积，经历的时间为周期 T

由开普勒第 II 定律得：

即：

两侧同时平方、并乘以 a 得：

上述比值是只与中心天体有关的常数

证毕