高中数学必修一(新人教版) P22 不同增长函数的差异

第四章 指数函数与对数函数

第4节 对数与对数函数

3、不同增长函数的差异

• 常见函数模型的增长速度

1、以y=2^x和y=2x为例

2、以y=lgx和y=1/10x为例

（一）y=2^x增长速度越来越快，y=2x的增长速度是一致的

（二）| k |越大，函数越“陡”

对不同函数增长速度的思考

1、总结

2、三种函数的增长速度的比较

（1）在区间(0,+∞)上，函数y=a^x(a＞1), y=logax(a＞1) 和 y=x^n( n＞0) 都是增函数，但增长速度不同

（2）在区间(0,+∞)上随着x的增大，函数y=a^x(a＞1) 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y=x^n(n＞0) 的增长速度，而函数 y=logax(a＞1) 的增长速度则会越来越慢

（3）存在一个x₀，使得当x＞x₀时，有

logax＜x^n＜a^x

• 对指数函数增长速度的理解

1、一般地，指数函数y=a^x(a＞1)与一次函数y=kx(k＞0)相比，即使k的值远远大于a的值，y=a^x的增长速度最终都会大大超过y=kx的增长速度

2、一般地，虽然对数函数 y=logax(a＞1) 与一次函数y=kx(k＞0) 在区间上都单调递增，但他们的增长速度不同，随着x的增大，一次函数y=kx(k＞0) 保持固定的增长速度，而 对数函数y=logax(a＞1) 的增长速度越来越慢，不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax 可能会大于 kx ，但由于 logax 的增长最终会慢于 kx 的增长，因此总会存在一个 x₀，当 x＞x₀ 时，恒有 logax＞kx

3、指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长

4、对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律