【官方双语/合集】微积分的本质 - 系列合集
// 更新了图片文字不清晰的问题.210926
/// 已输入10653字
//误导
以下带有 // 符号的, 皆是个人见解, 如有误导, 概不负责
//评论
看到这些视频，我觉得我国的高等数学教科书编的是真精简……仅仅是阅读，对于一般人来说很难掌握书中的知识点。而我经常参考的外国的关于计算机基础科目的书籍，经常600+页，有时候感觉各种描述真是太多，CPU是什么也需要举个现实例子描述它的作用。
这应该跟我们国家的重视教学轻视自学的教育方法有关。这种思想，危害还体现在我国的科普水平上，有些本应该让大众理解掌握的知识，却很少有人做系统而又深入浅出的讲解。人民的知识水平的提升，的确是一项任重道远的事情。
//意义
【古埃及简史第三期】
@周侃侃
古埃及人的计算结果和今天的天文学计算相差无几
他们精确的天文历法极大地促进了农业生产的发展
为人们的生产生活提供了便利条件
在远古时代, 谁先掌握了准确的年历
谁就拥有了领先的农业生产
也就有了生存的基本保障
这也是古埃及发展出灿烂文明的基础
//为啥研究圆周率 pi 的原因
Part 1
初级翻译:
三蓝一棕
David Hilbert (23 January 1862 – 14 February 1943) was a German mathematician and one of the most influential mathematicians of the 19th and early 20th centuries.
Hilbert discovered and developed a broad range of fundamental ideas in many areas, including invariant theory, the calculus of variations, commutative algebra, algebraic number theory, the foundations of geometry, spectral theory of operators and its application to integral equations, mathematical physics, and the foundations of mathematics (particularly proof theory).
Hilbert adopted and defended Georg Cantor's set theory and transfinite numbers. In 1900, he presented a collection of problems that set the course for much of the mathematical research of the 20th century.
Hilbert and his students contributed significantly to establishing rigor and developed important tools used in modern mathematical physics. Hilbert is known as one of the founders of proof theory and mathematical logic.
-Wikipedia
@Google 翻译
大卫希尔伯特（1862年1月23日－1943年2月14日）是德国数学家，也是19世纪和20世纪初最有影响力的数学家之一。
希尔伯特在许多领域发现并发展了广泛的基本思想，包括不变论、变分法、交换代数、代数数论、几何基础、算子的谱理论及其在积分方程中的应用、数学物理和数学基础（特别是证明论）。
希尔伯特采用并捍卫乔治康托的集合论和超限数。 1900 年，他提出了一系列问题，为 20 世纪的大部分数学研究奠定了基础。
希尔伯特和他的学生为建立严谨性做出了重大贡献，并开发了用于现代数学物理的重要工具。希尔伯特被称为证明论和数理逻辑的创始人之一。
@我命我掌控
大卫.希尔伯特 (1862年二月23日出生, 1943年一月14日去世)是一名德国数学家, 作为其中之一, 在那些最有影响力的数学家中, 在当时的19世纪与早期的20世纪.
希尔伯特发明并且发展了一个广范的基础理论, 在许多领域. 这些领域包括: 不变理论、变微积分、交换代数、代数数论、几何基础、算子谱理论及其在积分方程中的应用、数学物理和数学基础 (特别是证明理论).
希尔伯特采用了并且捍卫了乔治.坎特的集合理论和超穷序数理论. 在1900年, 他提出了一系列问题, 设定了研究方向, 为众多的数学研究, 就在20世纪的时候.
希尔伯特和他的学生贡献了重大的研究成果: 建立了严谨以及改进了重要的数学工具, 这些工具一直沿用至今, (广泛存在)于现代的数学物理学科中. 希尔伯特最有名的是位列于某个团体中, 那些奠基者们组成的团体, 团体研究的是研究证明理论以及数学逻辑.
如标题所示
这里 (做视频的) 的目标
是在一口气能看完的视频里
直值这一主题的核心
我的目标是让你看完后觉得你自己也能发明微积分
那些核心思想都会讲到
但主要讲清楚它们实际上从何而来
究竟是什么意思
微积分的三个中心思想：
积分
微分
互逆
这保留了圆的对称性
而保留对称性之后
数学往往会给你奖励
长方形的宽是原来的环的周长 2pi*r 对吧
因为这本来就是 pi 的定义呀
Pi 的常用定义
Pi is defined in Euclidean geometry as the ratio of a circle's circumference to its diameter.
Pi 在欧几里得几何中被定义为圆的周长与其直径的比值
数学乐定义
In other words: all the way around a circle divided by all the way across it. The symbol is π. No matter how large or small the circle, its circumference is always π times its diameter.
换句话说：围绕一个圆圈的所有方式除以穿过它的所有方式。符号是π. 不管圆有多大，它的周长总是直径的 π 倍。
百科定义
直径为1的圆的周长是π
威廉·琼斯定义
这是目前已知最早专门用希腊字母 pi 表示圆周和其直径比例的人. 这个希腊字母的第一次出现，是在书中讨论一个半径为1的圆时，提到“其圆周长的一半（pi ）”。琼斯选用了pi 的原因可能是因为它是希腊文中“周长”一词“περιφέρεια”的第一个字
欧拉定义
为了简洁起见, 我们将此数字写为 pi ，pi 等于半径为1的圆周长的一半
卡尔·魏尔斯特拉斯定义:
单位圆 x^{2}+y^{2}=1 上半部分的弧长
美剧.疑犯追踪.定义:
圆周长与直径之比，无穷无尽，永不重复。在这串数字中，包含每种可能的组合。你的生日、储物柜密码、社保号码，都在其中某处。如果把这些数字转换为字母，就能得到所有的单词，无数种组合。你婴儿时发出的第一个音节，你心上人的名字，你一辈子从始至终的故事，我们做过或说过的每件事，宇宙中所有无限的可能，都在这个简单的圆中。用这些信息做什么，它有什么用，取决于你们。
//为什么研究 pi, 并给它下定义: 计算铺满圆形花坛的面积(铺多少块地板砖), 计算车轮的周长(锯多少根木条)
//每一个圆环近似一个长方形
//由三角形推导出来的圆面积公式
我们之前从近似过渡到精确的这种方式
其实相当精妙
一路直达微积分的要害
一开始的问题可以用大量微小数值之和来近似
关于 dr 的两个重点
- dr 不仅是待求和的数量 2r*pi*dr 中的因子. 它还代表了不同 r 值的间隔
- 我们选得 dr 越小, 近似就越准确
最后
图像底下的面积
恰好就是圆的面积
完全准确
不用近似
数学和科学中许多其他难题
都可以分解近似成求出许多小数量的和
实话跟你说
找到这个面积
也即积分函数
真的很难
而当你碰上真的很难的数学问题时
上策就是别太执着于正面硬算答案
因为那样你往往会一头撞上南墙
相反 你应该先不带明确目标地随便把玩这些概念
花点时间熟悉一下函数间的交互关系
...
发挥探索精神
要是走运的话
你可能会发现这一点
把 x 稍微增加 dx 那么一丢丢 看看面积变了多少
我们把这一丝面积叫做 dA 表示面积的微小变化
dA
difference in Area
dx
difference in x
某个数值的微小变化
//dA 的微小变化用长方形面积来近似
// A(3.001) = 函数值
//A(3) = 函数值
//x1 = 3, x2 = 3.001, dx = x2 - x1 = 0.001 = 微小变化
//dx 微小变化的起始位置就是近似的 f(x)
dA/dx 这一比值叫做 "A的导数"
或者更严格地说
导数是当 dx 越来越小时这个比值趋向的值
...
粗略的讲
导数衡量的是: 函数对取值的微小变化有多敏感
我们关心导数 是因为它们有助于解决问题
...
它们是解决积分问题的关键
一旦你能熟练计算导数
你就能考虑这样的情况
你不知道一个函数是什么
但是你知道它的导数是x^2
你能从这出发 还原出那个函数是什么
//已知导数求原函数
积分与导数之间的这种来回转化关系
也就是某个图像下方面积函数的导数
能够还原出定义这个图像的函数
这就叫做 "微积分基本定理"
它将积分和导数这两大概念联系起来
并且表明 某种意义上 两者互为逆运算
//加与减互为逆运算
//平方与开方互为逆运算
//指数与对数互为逆运算
//原函数与反函数互为逆运算
我想让你从各个方面感受到 你自己也能发明微积分
如果你心里有了恰当的图景 以恰当的方式把玩每一个概念
这些现有的公式 法则和思想构造
都能在你自己的探索中轻松而自然地闪现
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Part 2
Albert Einstein (14 March 1879 – 18 April 1955) was a German-born theoretical physicist, widely acknowledged to be one of the greatest physicists of all time.
Einstein is known for developing the theory of relativity, but he also made important contributions to the development of the theory of quantum mechanics.
Relativity and quantum mechanics are together the two pillars of modern physics. His mass–energy equivalence formula E = mc^2, which arises from relativity theory, has been dubbed "the world's most famous equation".
His work is also known for its influence on the philosophy of science. He received the 1921 Nobel Prize in Physics "for his services to theoretical physics, and especially for his discovery of the law of the photoelectric effect", a pivotal step in the development of quantum theory.
His intellectual achievements and originality resulted in "Einstein" becoming synonymous with "genius".
-Wikipedia
@Google 翻译
阿尔伯特·爱因斯坦（1879 年 3 月 14 日 - 1955 年 4 月 18 日）是德国出生的理论物理学家，被广泛认为是有史以来最伟大的物理学家之一。
爱因斯坦以发展相对论而闻名，但他也对量子力学理论的发展做出了重要贡献。
相对论和量子力学是现代物理学的两大支柱。 他的质能等价公式E=mc^2，源于相对论，被称为“世界上最著名的方程”。
他的作品也因其对科学哲学的影响而闻名。 他因“对理论物理学的贡献，特别是发现光电效应定律”而获得 1921 年诺贝尔物理学奖，这是量子理论发展的关键一步。
他的智力成就和独创性使“爱因斯坦”成为“天才”的同义词。
@我命我掌控
阿尔伯特.爱因斯坦 (1879年三月14日出生-1955年4月18日去世) 是一名德国出生的理论物理学家, 广为人知的是作为一名人类, 在人间中, 成为了最伟大的物理学家之一, 从古至今所有的时间内都是这样
爱因斯坦成名于发展一种理论, 就那个广义相对论, 但是他也做了重要的贡献, 在理论量子力学的发展方面
相对论与量子力学共同作为了中流砥柱对于现代物理学. 他的质能等式公式: E=mc^2 (物体的能量等于物体的质量乘以光速的平方). 从他的相对论中推导出的这个公式, 已经被流传为"在这个世界上最有名的等式"
他的工作也闻名于他的影响力, 在那个科学哲理上. 他获得了那个1921年的诺贝尔物理奖, "表彰他的工作贡献给了理论物理学, 特别是他发现的规律, 关于光电效应的规律"
他的许多的智慧的成就与创造力, 直接让"爱因斯坦"这个名字, 变成了"天才"的代名词
本集的目标很简单 解释导数的意义
然而 这一话题有不少思维暗坑
一不小心就可能陷入矛盾之中
所以我们还有第二个目标
认识到这些矛盾是什么 并学会如何避开它们
说起导数 很多人通常会这么表述
//很多人 = 学校的教材
导数测量的是 "瞬时变化率"
然而你仔细想想的话 这个说法其实自带矛盾
在不同时间点 "之间" 变化才能发生
而当你把自己限制在一个瞬间点的时候 也就没有变化的余地了
//莱布尼兹的发型这么酷, 而且头发也这么多
改变了 距离-时间 的函数
也会同时改变 速度-时间 的函数
你需要拿出两个时间点来作比较
这样 你才能做距离变化量除以时间变化量的运算
没错吧 这才是速度的本体 即单位时间内运动的距离
那么 回头看看之前的速度函数
它只需要单独一个 t 值 一个孤零零的瞬间
是不是看着有点诡异了
我们想要给每一个单独的时间点关联上一个速度值
但计算速度却需要比较两个时间点上的距离
感到奇怪 有矛盾 那就对了!
//先有现实问题, 再有数学抽象的解决办法
所以 ds/dt 就可以当成
函数图像上很接近的两点 随着 "前进上升" 所连成直线的斜率
// ds/dt 的几何意义(图像意义, 数学语言转化成现实语言)
使用以上公式 电脑只要知道了表示距离的函数图像 s(t)
它就能立马绘制出表示速度 v(t) 的函数图了
同学们 现在可以暂停一下 好好回顾下之前的 (Part2的) 内容
仔细推敲: 如何利用一段极小时间差 (代号为dt), 推导出距离和速度的关系的
因为我们马上就要正面硬刚导数的悖论 (bei4lun4) 了
//定义只是为了简化字数
速度 = 距离/时间 --> v = s/t
距离定义: 汽车从A点到B点走了多远 = A与B的距离
时间定义: 汽车从A点到B点用了多少时间 = A到B的时间
速度定义: A与B距离与A到B的时间, 相除(做比值)得到的新数字
//课间休息
两个争强好胜的人用速度指标来比较高下
X: 哥们, 我以前骑自行车从A地到B地, 厉害吧
Y: 那又怎样, 我也骑车去过(台湾腔)
X: 那我用了6个小时到的, 快吧
Y: 我只用了4个小时
X: 那我在路上看到彩虹了
Y: 我只用了4个小时
X: 那我在路上遇到美女了
Y: 我只用了4个小时
X: 那我在路上领略大自然的智慧, 聆听山谷幽冥的寂静, 欣赏万般云卷云舒
Y: 我只用了4个小时
X:深吸一口气, 意味深长地说: 总有些人, 喜欢拿一个自己喜欢标准来不断衡量别人, 不停折磨对方, 搞得他人头皮发麻都想灭口了还不罢休. 但是, 这样说是不正确的, 因为要首先说总有些事情, 人做的对不对. 因为是人主导事情的发展. 这也是为什么只谈论事情的好坏, 不讨论人的贵贱(论事不论人), 因为有些行为虽然是人做的, 但不是有意的, 只是偶然或者不知道怎么做. 现在我告诉你: 我速度没你快, 但是我比你厉害.
Y: 放屁
//总结
- difference in time = dt (时间的微小变化), difference in distance = ds (距离的微小变化), difference in velocity = dv (速度的微小变化)
- dv = ds/dt
- ds = 距离-时间的函数: s(t), 在 t+dt 时间后, 上升的距离
- dt = 0.01 或者 dt = 0.001 或者 dt = 0.0001...
- 首先 (随便) 选定一个极小的时间变化: dt (例如 dt=0.01), 再将 dt 加上起始时间: dt + t (例如 t=3), 此时根据 距离-时间 函数, 会有一个极小的距离变化: ds = s(t + dt) - s(t)
- 起始时间任意选择(尽可能中间部分: 距离变化大, 容易看出变化), 时间的微小变化: dt 任意选择(尽可能小)
- dv (速度的微小变化) = ds(距离的微小变化) /dt(时间的微小变化) = s (s+dt) - s(t) / dt
//尽管上面使用了 dt=0.01 (具体的取值)
但在纯数学领域 导数并不是 dt 为某个具体值时ds和dt的比值
in pure math, the derivative is not this ratio ds/dt for a specific of dt
而是当你选择的 dt 值 无限趋近于0时 这个比值的极限
//导数完全体: 导数宝宝进化了无限次
幸好 从图像的角度 求这个比值无限趋近于多少 会有一个精妙的描述
回忆一下 如果我们随便选择一个具体的 dt
那么 ds/dt 就是 穿过图像上两点直线的斜率 没错吧
现在 dt 越来越接近0 这两点也越来越靠近
过两点直线的斜率 也就越来越趋近在 t 点时 图像切线的斜率
所以说 导数纯数学上真正的完全体
并不是沿图像两点间直线的斜率
而是经过图像上某一点( = 所有点)的切线的斜率
请注意 我这里并没说导数里面的 dt 是 "无限小"
"无限小"是啥 能吃吗
whatever that one means
我更没说 把 0 代入 dt 就可以求导了
这个 dt 永远都是一个有限小的量 非0 只是非常接近于 0 罢了
我认为这么想很聪明
尽管说 "瞬间的变化" 没有任何意义
even though change in an instant makes no sense,
//需要两个距离, 两个时间, 才有变化
但我们可以让 dt 非常非常的接近 0
this idea of letting dt approach 0
用这个狡猾的小技巧 就可以合理地讨论以下问题: 在单个时间点的变化率
is a really sneaky backdoor way to talk reasonably about the rate of change at a single point in time
//单个时间点 = 没有变化的余地
//dt 非常非常接近 0 = 这是一个变化的过程, 不是固定在某一个时间点的结果
//在速度层面, 求某一个时间点的速度没有意义: 需要两个时间点才行
//瞬时速度也是"速度", 同样没有意义
我们不用触及瞬时变化的矛盾就可以绕开它了
//速度是过程, dt 也是过程, 所以就能使用速度的定义了
//化简 ds/dt 后
后面的这两项 (带dt) 就能完全忽略了
//dt 非常非常接近 0, 就取最坏的结果, dt = 0
我们不去考虑 dt 具体有多大
反而把表达式很多复杂的部分都消掉了
这也正是微积分实用性的精华所在
//dt 变得简单时: 计算变得复杂
//dt 变得复杂时: 计算变得简单
//这个问题太深奥了
问题是基于一个不存在的概念: "瞬时变化"
//本身就是伪命题
而且导数根本就不是来衡量 "瞬时变化"的
距离-时间 函数的导数在 0 秒时等于 0 的真正含义:
是指在第 0 秒附近车速的最佳近似 是匀速(yun2su4) 0 米每秒
//以下举例说明
车确确实实移动了... 假设移动了0.001米
就一点点距离 而且重要的时 这和时间的变化相比 实在太少了
平均速度只有0.01米每秒
这里导数等于 0 的意思是 当时间的间隔变得越来越小时
这个表示(平均)速度的比值就越趋近于 0
而这不表示此时车就是静止的
我们只说它此时的运动, 近似于平均速度的 0, 近似而已
总之, 当你下次再听别人说导数测量的是 "瞬时变化率"
这一自带矛盾的概念的时候
//瞬时是一个时间点, 一个时间点没有变化, 没有变化就没有变化率
就请自动把它替换成 "变化率的最佳直线近似" 好了
//导数测量的是: 变化率.
//变化率最佳的求法是: 用直线近似某两点的变化率, 转而求直线的斜率就是某两点的变化率
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Part 3
在接下来的两个视频里
我想要告诉你如何既可视化又直观地考虑这其中的一些公式
并鼓励你永远不要忘记 微小变化量才是导数的本质
//幂函数求导公式的推导过程
这也就是 x^n 的导数是 n*x^n-1 的意义所在了
//多项式展开后, 带有 dx^2 的所有项都可以忽略(dx很小, dx^2 更小), (x + dx)^n - x^n 是所求函数 f = x^2 因 x 微小增加后的微小增加量
//也即 (x + dx)^n - (x)^n = nx^(n-1)dx
// [df(x+dx) - df(x)] / dx = nx^(n-1)
//幂函数的作图技巧
//思考
找点乐子, 如何从几何的角度求幂函数的导数
//普林斯顿微积分读本.函数
f = 事物内部包涵的数量关系
f(x): 输入 x 到 f 中, 得到的值
严格来说, f 不等于 f(x)
例如: f = 动物的腿数, 则 f(马) = 4
//几何描述
//(f1: 函数 f 的下标为1)
//函数值 f1(x) = x^2, d(f1(x)) = 函数值的微小变化 = 面积的微小变化 = 把 x 的微小变化对输出值的影响, 想象成正方形边长的微小变化对面积的影响
//函数值 f2(x) = x^3, d(f2(x)) = 函数值的微小变化 = 体积的微小变化 = 把 x 的微小变化对输出值的影响, 想象成正方体边长的微小变化对体积的影响
//函数值 f(x) = 1/x, d(f(x)) = 函数值的微小变化 = 面积的不变 = 把 x 的微小变化对输出值的影响, 想象成一滩矩形覆水, 其边长的微小变化对面积没有影响
//性质
//[f(x) = 1/x ] --> [ x*f(x) = 1]
//输入值乘以输出值恒等于1
//输入值变大, 输出值则变小
//一个增加, 一个减少, 数值相等, 符号相反
//右顶点在 f(x) 曲线上的所有矩形覆水的面积都相等(都是1)
//因为矩形面积没有变化, 也就没有忽略的部分
//关系
//x 与 1/x
- (所有的, 任意的, 任一的)矩形覆水中, 上边长度和右边长度.
- 1/x 是 f(x)=1/x 在x处的取值
//推导
//上侧面积的减少: x*-d(1/x)
//右侧面积的增加: dx * 1/x
//增加的等于减少的: dx * 1/x = x*-d(1/x) --> d(1/x) / dx = -1/x * 1/x = - 1/x^2
//几何
dx = √x*dx + √x*dx + d√x*d√x
=2*√x*d√x + 忽略不计
.`. dx / d√x = 2*√x
.`. d√x / dx = 1 / 2*√x = √x / 2*x
.`. f(x) = √x 的导数为 √x / 2*x
//如何用几何的方法求导数
//利用小三角形的微小变化
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Part 4
我不想让你死记硬背这些公式
我想让你对每条法则的来源都有一副清晰的图像
它是一个很好的热身环节 是好好想清楚这个例子
将两个函数相加 然后再求导 到底是什么意思
后面的乘积和复合函数的求导会更复杂一些
因此更需要这样的深刻思考
//组合函数的作图方法
首先考虑函数 f(x) = sin(x) + x^2
在每一个变量取值上 你就把 sin(x) 和x^2 对应的函数值相加
`.` f(x) = sinx + x^2
df = 原函数 f 的微小变化
`.` 前面推导过 sin(x) 的导数 = d(sin(x)) / dx = cos(x)
.`. d(sin(x)) * 1/dx = cos(x) --> d(sin(x)) = cos(x) * dx
//f(x) = 组合函数 = 盒子面积
//用几何推导了导数的乘积公式
//前导后不导, 前不导后导
//常数
常数的导数是 0, 即d(2) / dx = 0, 也即d(2) = 0, 所以有 d(所有的数) = 0
无论常数的数值增加多少, 微小变化dx 变成超级变化, 例如 d(30), d(100), 依旧没有变化率
.`. d(2) * sin(x) = 0 代入到几何求导数的式子中即可
这里我再换另一种方法来可视化
因为我想强调一下 在富有创造性的数学里 我们有不少选择
//可以试着理解为: 函数 f(x) = x^2 的输入值增加了 dx 这个微小变化后, 输出值 f(x) 的微小变化 df(x) 等于: f(x) 的导数乘以微小变化 dx
//速度(导数 f(x) ) * 时间(微小变化 dx ) = 距离(微小变化 df(x)
// 链式法则推导过程
了解链式法则和乘法法则 完全不同于
能够在最棘手的情况下灵活地运用它们
不管你看了多少讲微积分理论的视频
都不可能代替你自己去做练习
否则没法锻炼你自己做计算的能力
我也很希望我能帮你完成这些
但是朋友 练习这件事恐怕要你自己来做
我能提供的 也是我希望我已经做到的
是向你展示这些法则的来源
说明它们并不是死记硬背的东西
而是很自然的规律
通过耐心地思考导数的意义 你也可以发现这些法则
不知道你是不是也一样 但我自己一不小心就会只读课本 听课
忘记花点时间真的动手解决问题
而且实际上解题才是收获最大的一环
广告...
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Part 5
//在指数函数中, 并不是所有函数
//代数可以表示常数: 代入越来越小的数, 表达式趋近于0.6931
//比例常数随着分子变化
你要是问 为什么这么多常数 就 e 有这个性质
就好像是在问
为什么 pi 正好是圆的周长比上它的直径一样
//pi: 有直径 --> 立即求出周长
//e: 有比例 --> 变为1
所有的指数函数都和它们的导数成比例
但是只有单单一个 e, 是那个使比例系数为1的特殊数字
也就意味着 e^t 就等于它自身的导数
对数 ( log_e(2) ) 是在问 e 的多少次方等于 2
//对数: log_e(2) = 2 log e = ? (2 "对" e 等于多少 = 2 是 e 的几次方) --> 等价于指数: e^? = 2 (e "指" 多少等于 2 = 多少个 e 相乘等于 2)
//除数: 2 / e=? (2 除 e 等于多少 = 2 里面有多少个 e) --> 等价于乘数: e * ?=2 ( e 乘多少等于 2 = 多少个 e 相加等于 2)
//对数的逆运算意义
//加减乘除指对, 这些运算法则带了一个 ? 或者变成 x , 就都成了函数. -对函数较容易理解的描述
//2^t = (e^log_e(2) )^t
//除法可以用乘法表示: a / b = a * 1/b
//指数可以用对数表示: 2^t = e^log_e(2)t
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Part 6
//先问是不是, 再问对不对
//先判断是不是隐函数
//再问隐函数如何求导
//隐函数求导小技巧: 把 y 看作 y(x)
//一个函数加上另一个函数 = 一个新函数
//结论: 在梯子上后边打滑, 后撤的速度比下降的速度快, 人可能会从梯子上直接趴下去
// dS含义
它实际是表示你从 (x, y) 点开始 走了(dx, dy) 这一小段距离之后
原来的 S = x^2 + y^2 的值相应的变化了多少
这是个近似值, 但是这个近似值会随着 dx dy 越来越小而越来越精确
//用e^x 的导数求 log_e(x) = ln(x) 的导数
顺便一说 这集所有的内容其实都是带你入了一点 "多元微积分" 的门
"多元微积分" 就是分析取多个变量的函数
分析它们如何随多个取值的变化而变化
但要点总是一样的 你必须在大脑里想清楚
这些变量是如何联系在一起, (这些变量又是)如何变化的
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Part 7
//微小变化定义导数时, 使用的方法: 最佳的直线近似求斜率, 这个方法离(用极限求)导数(的方法), 就差那么一点点
所有带dx 的公式
已经包含了求极限的概念
// 不能再使用 lim 前缀了
//极限来定义导数中, 不含 dx 的原因
用具体有限小的变化量来描述导数 这一整套的思想
其实和导数的正式定义是等价的
// 右边式子详细的描述了 df 的变化过程
// 左边式子是求导数的简化版式子, 隐藏了 df 的变化过程
我们讨论的不是无穷小的变化量(对右边式子)的影响
//变量 h -> 0 不等于 无穷小对式子的影响
//趋近于 0 的影响 Vesus 无穷小的影响
//随着输入值的缩小, 输出值不能收缩到一个点上
//定义
这种将取值范围在极限点附近收缩
然后观察函数值是否收缩 以及其收缩后的范围的方法
就是所谓的极限的 " ε-σ " 定义
常见希腊字母与读音
Upper Case Letter / Lower Case Letter / Greek Letter Name / English Equivalent / Letter Name Pronounce
Α α Alpha a al-fa
Β β Beta b be-ta
Γ γ Gamma g ga-ma
Δ δ Delta d del-ta
Ε ε Epsilon e ep-si-lon
Ζ ζ Zeta z ze-ta
Η η Eta h eh-ta
Θ θ Theta th te-ta
Ι ι Iota i io-ta
Κ κ Kappa k ka-pa
Λ λ Lambda l lam-da
Μ μ Mu m m-yoo
Ν ν Nu n noo
Ξ ξ Xi x x-ee
Ο ο Omicron o o-mee-c-ron
Π π Pi p pa-yee
Ρ ρ Rho r row
Σ σ Sigma s sig-ma
Τ τ Tau t ta-oo
Υ υ Upsilon u oo-psi-lon
Φ φ Phi ph f-ee
Χ χ Chi ch kh-ee
Ψ ψ Psi ps p-see
Ω ω Omega o o-me-ga
//咬文嚼字
你总能在极限点附近 离 0 点距离为某 δ (delta) 的取值范围内
you will always be able to find a range of input around our limiting input
找到一系列取值点
some distance delta around 0
使得(两个 delta 的)范围内得任一取值点
so that any input within a delta(δ) of 0
它的函数值都处在距离12 为 ε (epsilon) 的范围之内
corresponds to an output within a distance epsilon(ε) of 12
//转化
lim_(x->1) sin(πx) = -πx dx
lim_(x->1) [x^2-1] = 2 dx
// 求极限转化成求微小变化
// df = df(a) / dx * dx = 导数 * dx = 函数 f, 因为输入值 x 增加了 dx 这个微小变化, 导致函数 f 的微小变化
// d = 微小变化, f = 函数, f(x) = 一系列函数值
// 有 lim 没有 dx, 有 dx 没有 lim -数学式子: 一山不容二变化
//每次提到洛必达法则, 都要提到这是他花钱买的, 求一个这样子的出名方式, 真滴是太讽刺了
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Part 8
//逆运算
我想在这里说明的 "显而易见" 的就是 积分其实是求导的逆运算
// 求微分 = 求导 --> 积分其实是微分的逆运算
//开根号是取平方的逆运算
// v(t) = t(8-t) 是怎么来的
//有可能就是选择一个容易看出规律的函数
什么函数的导数是 t(8-t)
// d(?) / dx = x(8-x)
// 有一个 x 未知数情况下, 再去求一个未知关系式 = 求"原函数"
//直观感受 = 看得见的感觉
// 我在那一点上同意你的观点
//司机: 都像这样子开车就别干出租车这一行了, 自己难受别人看着还痛苦
// 开始那点的速度函数的值, 也是 T 点的速度
// 在 T 点想知道走了多远的距离
//速度函数下的面积 = 汽车走过的距离 = 原函数在 t2 时刻的函数值 -(减去) 原函数在 t1 时刻的函数值
那就是 积分 即这些小矩形的和的极限
连续地遍历了从下限到上限的每一个自变量的值
这也是我们用 '积分' 这个词的原因
//总结
曲线下方的面积就是在实际的 时刻变化的速度下走过的距离
如你把这个面积也看做(新的)函数
其自变量是右端点
就可以推出 面积函数的导数 (找出面积的微小变化)
一定等于图像所在点的高度
这正是关键所在!
这就是说 求图像下面积的函数
就是在求导数是 v(t) 的函数
// 求图像下面积的函数 = 求原函数
// 求图像下面积的函数的导数 = 求原函数的导数 = 自身 = T 点的函数值
你会经常见到这种说法
积分算的并不是字面意义上的面积
而是图像和横轴所围成的带正负号的面积
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Part 9
// 数学与作家类似
// 对已经存在的事物进行解释
// 提出问题的时候就已经知道一半的答案了
// 图像的平均高度 = 函数 sin(x) 取值的平均大小
// 面积的定义恰巧就是: 宽度乘高度 (底乘高)
想要计算积分
我们就需要求函数的原函数
// 求积分 = 求面积, 为了求原函数
// 求微分 = 求微小变化, 为了求导数 (导数也可理解为: 函数的函数; 或者由原函数变化而来的一个新的函数, 尽管有些导数是常数)
// 这里的另一个函数是指: (最佳直线近似的)斜率就是原函数的导数, 作为了一个新的函数
// 斜率代表 sin(x) 在 0 到 pi 之间 (函数值) 的平均值:
- sin(x) 的原函数连续
- 平均值 = 连续的函数, 他们的函数值相减 除以 连续的区间长度
所以函数 sin(x) 的 (所有函数值的) 平均值
就是原函数 -cos(x), 从 x=0 到 x=pi, 所有切线斜率的平均值
// 导函数的函数值 就是= 原函数的切线斜率值
// 导函数的函数值的 平均值, 就是= 原函数的切线斜率值的 平均值
// 因为 sin(x) 是 -cos(x) 的导函数, 所以 sin(x) 的所有函数值, 就是= -cos(x) 的所有导数值, 就是=所有的(最佳直线近似的) 切线斜率值
// 求导数, 就是=求微小变化df, 就是=求斜率k, 就是=df/dx (输出值f(x)的微小变化除以输入值x的微小变化) = f(x+dx)-f(x) / x+dx - x, 就是= 下图中, 小三角形的竖直角边ds, 除以横直角边dt, 就是= ds(t)/dt
// 假如用一辆汽车的速度作为原函数, 先加速后减速, 那么切线的终点与起点相连构成的直线时, 直线的斜率为 0, 是什么意思, 函数值的平均值可不是 0
在上一个视频中 我讲述了在什么情况下 应该想到用积分
也就是说 当你觉得手上的问题
可以通过细分然后再相加的方式估算的话 那么试一试积分
这里 我还希望大家记住第二种情况 应该要想到积分
如果在有限个数量的情形 你懂得怎么用相加的方法解决问题
例如求一些数的平均值
然后你想要把这个想法推广到连续变量 也就是无限个数量中的话
你可以试试用积分来描述这个问题
这种直觉时常出现 特别是在概率中 值得好好记住
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Part 10
//移位函数的导函数们, 一起展示舞姿
// 求导数值, 就是=求斜率值
// d(df) = df2 - df1
// d(dx) = x+dx+dx - (x+dx) = dx
// (dx)^2 哪来的
//d(df) / dx = df2(df1 / dx) / dx 这个好理解
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Part 11
我们学习泰勒级数 很大程度上就是为了在某个点附近
用多项式函数去近似其他函数
其中的缘由就是 多项式比其他函数友好
多项式好计算, 好求导, 还好积分
简直是各种好
// 情人眼里出西施
// 如此巧妙地利用导数进行近似, 这个操作逐步限制了多项式曲线的画法, 一次一次地掌控了曲线高地
// c0控制函数值相等, c1 控制一次导数值相等, c2 控制二次导数值相等, 发明者(泰勒)真是个人才
// 这些系数越多, 近似的函数值就越准确, 因为控制的数值多
// 如何近似不是 0 点处的函数值: 让 x 与这个输入值相减
// 容易得到最初的一个函数值, 首先让其他所有的影响忽略, 一个一个地近似
//只要 0 这一点可以近似, 其他的函数输入点只要平移到 0 就行了
// 哲学角度= 玄学, 刘擎听了想骂人
// 只关注 0 那一点的近似, 结果用到了自身的函数值, 自己的儿子的函数值, 儿子的儿子的函数值...
// 泰勒就是愚公移山的活例子, 后人在学校开设课程: 高等数学-第十二章-学习泰勒移山的精神
// 完全看不懂, 好像是我笨, 那我走
项数越多 近似也就越准确
但代价是多项式也会变得越复杂
// 步骤
- 先改写
- 再计算
这样泰勒多项式就能适用于所有的情况了
// 没必要死记硬背, 到时候推导一下就出来了
// 图像中小三角形的斜率, 就是= 原函数的二次导函数
// 为什么是在 a 点的二次导函数: dx 非常小
// 泰勒多项式还可以近似求面积, 就是= 近似求原函数
// 教材是为了学校为了老师而编写的，不是为了学生自学
// 泰勒级数的可能会收敛
// 等于(=), 是函数的符号. 在微分与积分, 多用近似(~), 趋向于(-->)
// 某个函数去听泰勒的相声, 结果笑开了花, 回到家都没有人认识, 但其实还是原来的函数
// 任何一个很简洁的函数, 到了泰勒的世界都会变得又难看又难算又难写...
// 泰勒: 掌握魔法力量的男人
// ln(x): 自由意志生生不息, 我是不会屈服于泰勒魔法的
// 另一种的泰勒级数
// 有发散的级数, 可能有收敛半径
但本系列最重要的目的 就是帮你建立基础直觉(感觉, 感受, 感性)
给你信心 给你自己学习的动力 (新手入门)
没准还能让你发现一些微积分的内容
而在泰勒级数中 我要大家建立并牢记的重要直觉就是
泰勒级数是利用函数某单个点的导数 来近似这个点附近函数的值
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