《群论》 第一章 绪论

群论

作者：Dimitri.V.Vedensky

译者：Chemyy & Google娘

第一章 绪论

依我所见，所有物理基于经验的陈述都有其对称性起源。——赫尔曼·外尔

1.1 物理学中的对称性

对称性是一种人类基础认知，据于其体现在几乎所有文物中。对称的物体对人脑有很强的美学吸引力，比如，古希腊作品“σύμμετρος”起初寄托着“良好比例”或者说“和谐”的理念。关于这种对称的美感，起初是在公元前400年，人们在正多面体上找到了其理性表达方式并且持续深入研究，这种美感现在已进入今日的许多科学分支。

1.1.1什么是一个对称体？

对于一个物体，如果存在一种变换，比如定轴旋转或者中心对称，使这个物体看起来与之前没有区别，那么这个物体就是一个对称体。在图1.1中，我们展示了一个正三角形、一个正方形和一个圆。这个三角形在绕中心轴旋转六十度或一百二十度后和之前没有任何区别。同理，对一个正方形绕轴转九十度、一百八十度、二百七十度，对一个圆随意绕轴转几度，与之前不会有任何区别。这样的变换叫相关物体的对称性变换，使这个物体在变换后与之前没有区别。物体有越多这样的对称性变换，就说这个物体对称性越高。在这样的基础上，圆就具有最高的对称性，正方形次之，正三角形最低。此外，这三个图形的对称性变换还有一个令人注意的地方，即旋转的离散性。对三角形和正方形来说旋转角度是离散的，而对圆的旋转角度是连续的。

1.1.2物理法则中的对称性

在物理学中，存在着使物理法则不变的对称性操作，研究其中的对称性显得尤为基本。这样的变换是在一定的物理法则内改变变量，以致使方程保持原本形式但描述一个新的变量。变换与物理法则之间的关联研究从牛顿开始，后来人们发现其运动公式实际上与伽利略变换同质异体。无独有偶，对称性也是洛伦兹和庞加莱发现洛伦兹变换（详见人教版物理选修3-4——译者注）的指导思想，这个变换是麦克斯韦方程的对称性变换。以上两种对称性变换各自的不足都被爱因斯坦的相对论所解决。

举一个对称性变换的例子，现在考虑以一个光速传播的量子。它的传播符合由麦克斯韦方程推导出来的波函数：有

考虑时空间中坐标化的速度

其中，对量子进行洛伦兹变换后的坐标，有：

结论是波在两个相对运动的惯性系中以相同速度以相同的路径传播（我没读懂——译者注）。洛伦兹变换就是这个波函数的对称性变换，而这个函数被称作洛伦兹变换的协同函数。

总的来说，物理法则的对称性变换分两类，一类是包含空间-时间分量的，我们称之为几何对称性，第二类是包含惯性分量的，我们一般称之为惯性对称性。

1.1.3 诺特定理

物理法则的数学表达能影响物理方程结构与物理理论预言，那么指出合适的对称性变换是当代物理的一大核心话题。由数学家和物理学家一起努力，于埃米·诺特的工作达到高潮，这方面的研究终于指出了对称性与守恒之间深深的关联。这种关联被叫做“诺特定理”。在经典理论中，动量守恒与有空间对称性；角动量守恒有指向对称性；能量守恒有时间对称性。（另外三个是电荷守恒、重子守恒、轻子守恒——费曼如是说）

1.1.4 对称性与量子力学（感觉没太多营养 ，这段是机翻——译者注）

量子力学和后来的量子场论的出现为研究对称性的后果提供了全新的途径。伦敦和外尔将一种称为规范变换的变换引入了量子理论，将总电荷作为守恒量。 1960 年代初期，盖尔曼和尼曼提出了强相互作用的幺正对称性SU(3)。这导致盖尔曼和茨威格提出了一种新的、更深层次的量子“夸克”来解释这种对称性。海森堡、戈德斯通和南部认为相对论量子场论的基态（即真空）可能不具有哈密顿量的完全全局对称性，并且无质量激发（戈德斯通玻色子）伴随着这种“自发对称性破缺” 。”希格斯和其他人发现，对于自发破缺的规范对称性，不存在戈德斯通玻色子，而是大量矢量介子。这现在被称为希格斯现象，其验证验证已一直是大量实验工作的主题。对称性的另一个方面，也是由于物质的量子力学性质，源于分子和固体中原子的排列。原子排列的对称性，无论是在简单的双原子分子还是复杂的晶体材料（如高温超导体）中，都会影响它们的电子和振动特性的许多方面，尤其是它们对外部热、机械和电磁扰动的响应。量子力学中波函数的变换特性是所谓的表示理论的一个例子，该理论是由数学家弗罗贝纽斯和舒尔在 20 世纪之交提出的。这激发了物理学家和化学家的巨大努力，以确定波函数对称性的物理后果，这种结果一直延续到今天。著名的例子包括布洛赫关于周期势波函数的工作，它构成了固体量子理论的基础，鲍林关于化学解释轨道对称性的工作，以及伍德沃德和霍夫曼关于轨道对称守恒如何决定化学过程的工作反应。最近的科学进步突出了对称性在凝聚态物理学中的突出作用是发现了具有旋转对称性的准晶体，这些对称性与普通晶体，因此有时被称为非周期性，以及 C60 形式的碳，被称为“巴克敏斯特富勒烯”，这个名称源于它与 R.巴克敏斯特富勒提出的结构的相似性作为替代方案到传统架构。

1.2 量子力学中的例子

1.2.1一维薛定谔方程

为了欣赏对称性是如何入侵量子力学圣地的，我们举一个一维定态薛定谔方程的例子:

其中

称为哈密顿算符。

这里的，为波函数，表示粒子质量，为粒子势能，为粒子总能量。

在接下来的讨论中，我们将会阐明这样一个事实：一维量子力学问题的能量本征值是非简并的，也就是说，每一个能量本征值对应有且仅有一个本征函数。

现在这样设想，假如是偶函数，对上式施以，上式变为

即

其中E是分立的，由于有且仅有一个本征函数与本征值对应，那么与不可能线性无关，即有：

其中A为一个常数

上式中，即有：

两式联立得到：

由于

故有

所以，即要么是奇函数，要么是偶函数。

这与我们对薛定谔方程的认知一致，请看图1.2

1.2.2对称性与量子数

上一节我们我们的讨论展示了对称性是如何入侵薛定谔方程的求解，这次我们来基于1.1.2以及1.1.3，来建立起连续对称性与量子数的关系。

设想这个非定态一维薛定谔方程：

这个方程的解是一组平面波：

（的实数部分）

其中和与动量以及能量相关。换句话说，这个解中的量子数与动量、能量相关，而又由于诺特定理，动量有空间对称性，能量有时间对称性，说明量子数与时间空间都有一定的对称性关系。同样的，假如对于一个在旋转的系统，里面的量子数会和能量、角动量有关，即有时间对称性与空间指向对称性，特别的，后者由两个量子数对应，因为角动量的变换有两个自由度。

1.2.3矩阵元素与挑选原理

对称性最重要的应用之一就是研究一个对称操作中的那些需要为0的矩阵元素。我们继续上一节的例子，假定操作对应的函数有确定的奇偶性，其矩阵元素如此定义：

积分区间与原像有对称性关系。如果是一个偶操作，那么某些矩阵元素就要为0，只有这样才能使得这样的积分是偶操作，这被称作挑选原理，因为我们要挑出哪些元素是0。请注意，挑选原理没有给出任何有关量纲的信息。

挑选原理在处理破碎对称性时相当有用。举个例子，一个原子的哈密顿量，由电子动能和库仑势能相加，在不同的朝向上是一样的。但是当这个原子被放在电磁场中，哈密顿量需要加上一个与朝向有关的项，因为场有自己喜欢的方向(❤ ω ❤)。这叫斯塔克效应（电场导致）和塞曼效应（磁场导致）。类似的事情发生在量子场理论中，拉格朗日函数需要加上一项与朝向有关的项。因为这些破坏对称性的项在这些情况下都很小，我们的挑选原理能介入其中进行微扰理论计算。

1.3 总结

这章例子中应用的对称性理念被赋予了一种代数表述“群“。这是一个二十世纪才兴起的数学分支。有一段时间，只有排列被深入研究。柯西在这个工作中起了主要作用，但英国数学家凯莱是第一个提出抽象群并用于矩阵和四元数的研究。后来的一篇论文中，柯西指出每一个有限群都可以用于代表排列，这个结论我们在本章已经解决了。事实上，几何变换和排列共有着相同的代数构造，根植于对方程解的研究。在下一章，我们将学习这门课的基础知识。