【数学基础61】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. lim（1+1/n）^n=e.

2. 公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；

3. 双重向量积：给定空间三向量，先作其中两个向量的向量积，再作所得向量与第三个向量的向量积，那么最后的结果仍然是一向量，叫做所给三向量的双重向量积。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一个双重向量积；

4. 性质：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；

5. （axb）xc=（ac）b-（bc）a；

6. 拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；

7. （axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a；

8. （axb，cxd，exf）=（a，b，d）（c，e，f）-（a，b，c）（d，e，f）；

9. 右手系/左手系：设有不共面的三个向量a，b，c，将它们移到同一始点，则a，b决定一个平面，而c指向平面的一旁，将右手四指并拢与拇指分开，使四指向掌心弯曲的方向，表示从a的方向经过小于平角的转动达到b的方向，此时若拇指方向与c方向指向平面的同一旁，则称向量组{a，b，c}构成右手系，否则称为左手系；

10. 直角标架/直角坐标系：设i，j，k是空间中以O为起点的三个向量，它们两两垂直并且都是单位向量，则O；i，j，k称为空间的一个以O为原点的直角标架或直角坐标系，记为{O；i，j，k}；

    右手直角标架/右手直角坐标系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}称为一个右手架标或右手直角坐标系；否则称为左手直角架标或左手直角坐标系；

    直角坐标系的基向量：我们把i，j，k称为该直角坐标系的基向量；

11. 仿射架标/仿射坐标系：如果我们不要求i，j，k单位长度且两两正交，只要求它们不共面，那么{O；i，j，k}称为空间一个以O为原点的仿射架标或仿射坐标系；

    右手仿射架标/右手仿射坐标系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}称为一个右手仿射架标或右手仿射坐标系；否则称为左手仿射架标或左手直仿射坐标系；

    仿射坐标系的基向量：我们把i，j，k称为该仿射坐标系的基向量.

12. 矩阵乘法运算律——
    

    a.结合律：（AB）C=A（BC）

    b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

    c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

    d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A

    e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

    f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。

13. 矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。

14. 矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；

15. 设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

16. A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）

17. E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
    

    方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A

    方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）

18. 矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'，|A'|=|A|。

19. 定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反/斜对称矩阵。

20. 定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。

21. 矩阵转置运算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

22. 定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'。

参考资料：

1. 《数学分析》（华东师范大学数学系 编）

2. 《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）

3. 《高等代数题解精粹》（钱吉林 编著）

数学分析——

例题（来自《数学分析（华东师范大学数学系 编）》）——

利用lim（1+1/n）^n=e求下述极限：lim[1+1/（n+1）]^n.

解：

1. [1+1/（n+1）]^n

   ={[1+1/（n+1）]^（n+1）}/[1+1/（n+1）]

2. lim[1+1/（n+1）]^n

   =lim{[1+1/（n+1）]^（n+1）}/lim[1+1/（n+1）]

   =e/1

   =e

解析几何——

例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——

定理：设O；i，j，k是空间的一个仿射坐标系（直角坐标系），则任意一个向量v可以唯一表示成v=xi+yj+zk.

证：

（存在性）

1. 平行移动v使它的起点至坐标原点O，设它的终点为M，即OM=v；

2. 过M点作平行于向量k的直线交向量i，j张成的平面N，过N点作平行于向量j的直线交向量i所在的直线与P；

3. 则v=OM=OP+PN+NM=xi+yj+zk.

（唯一性）

1. 设v还可以表示成i，j，k的另一种形式v=x'i+y'j+z'k；

2. （xi+yj+zk）-（x'i+y'j+z'k）

   =（x-x'）i+（y-y'）j+（z-z'）k

   =v-v

   =0；

3. 因为i，j，k非零不共面，则x=x'，y=y'，z=z'.

高等代数——

例题（来自《高等代数题解精粹（钱吉林 编著）》）——

设A^2-A-6E=0，证明A-2E是可逆矩阵，并将它的逆矩阵表为A的多项式。

证：

1. （A-2E）（A+E）

   =A^2-A-2E

   =（A^2-A-6E）+4E

   =4E；

2. （A-2E）[（A+E）/4]

   =E，则A-2E是可逆矩阵，（A-2E）^（-1）=（A+E）/4.

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