数学求助

小学时学编程时老师讲到过二阶等差数列，突然有一天想到把各个数的平方排列出来，两两相减，发现形成的数列公差为2，然后我用立方试了一下，发现是个三阶等差，且差的差的公差为6，我就发现这样一个规律，在一阶时，数列1,2,3,4,5...公差为1，即1！，而二阶时最后结果为2，即2！，三阶为6，即3！，我往后又推算了几个，发现也符合这个规律，然后我把这个猜想浅转换了一下，即

求助各位帮忙证明一下，谢谢。