MIMO MMSE 的公式的推导

(录制的视频：待上传)

这篇文章推导一下 MIMO MMSE 检测算法的数学公式。MMSE：Minimum Mean Squared Error.

其中 H 是信道系数矩阵，是 MxN 的，X 是发送信号向量，Nx1的列向量，Y 是接收到的信号，是 Mx1的列向量，W 是加性高斯白噪声，也是 Mx1 的列向量。

我们的目标是找一个矩阵 G，用 G 作用在 Y 上来估计发送的 X，即：

其中 是对发送向量 X 的估计，由于矩阵乘法是一个线性操作，因此这个算法也更准确地被称为 Linear MMSE 检测算法。

我们要找一个合适的 G，使得下式最小：

这个式子的含义是，  是估计的向量与原始的向量之间的误差向量，再对这个向量取其模长。

而这套系统中，我们是假定信道系数矩阵 H 已知，在这些条件下，那么只有 发送向量 X  和 噪声W 是未知的（由于 Y = HX +W ，因此 Y 也是未知的，但是可以用 X 和 W 计算出来），我们把他们看成随机变量，所以，我们从这两个随机变量的角度，看统计意义下的误差最小，即名称中 Mean 这个单词的含义。

也就是说，我们不是针对某个特定的发送向量，或者某个特定的白噪声，来计算 G，使得误差最小（误差的模长最小），而是看所有发送的向量的各种可能，所有可能的白噪声，考虑这些所有的可能后来使得误差最小。这是与 Zero Forcing 算法不太一样的地方（待详细叙述）。

把 (2) 代入 (3) ，同时，用数学语言来表示找最小，我们得到如下这个公式：

接下来就是纯数学推导了：

对公式 (5) 相对 G 求导，利用如下公式 (a,b 均为列向量，X 为矩阵)

则：

那么

令公式（6）等于 0 ，即相当于求解公式 (5) 的极值问题，则：

其中两个相关矩阵的计算如下：

以及

把 (8) (9) 代入 (7) :

最终得到：

需要注意的是，公式 (11) 也可以写成：

即：