建模算法设计入门：多项式曲线拟合(MATLAB)

原理请参考：李庆杨 《数值分析》，3.4节曲线拟合的最小二乘法。

如果根据原理写自己MATLAB算法：

测试案例

例1：以自定义的多项式测试算法拟合的系数的正确性。

可见，算法在功能上是正确的。如果添加一定的噪声，结果如下，与实际系数存在一定的差异，但是在最小二乘意义下是最优的。

例2. 以函数为例等距划分个数据点，以此数据拟合多项式曲线。

结果如下

从图1中可以看到，两端点处存在些许振荡现象，盲目提高多项式拟合的阶次，比如20阶，并不会使得拟合的曲线更逼近真实曲线，而是在拟合点处的误差越来越小，mse减少到3.8993e-08，而预测误差反而会增加，出现机器学习中的过拟合现象。如图2所示

解决这一问题的一个思路是，增加所拟合的数据量，如图3所示，为50个数据量，20次多项式曲线拟合的结果。

实际应用中，所给定的数据未必知道背后的真实模型，一旦知道背后的真实模型，也就没有拟合的必要了。且采样数据存在一定的误差，故此例模拟。

该示例代码也可进行非线性曲线拟合，但需要进行转换。

例 3：在区间内等分15个数值节点，按照生成离散数据点，试拟合数学模型，即确定系数和。

结果如下，test_LSPolynomialCurveFitting2为本人定义的脚本文件名称。

由于数据存在一定的噪声，故拟合的系数与真实系数存在些许误差。