很水的数学分析019：上极限和下极限的性质

1.Stolz—Cesaro定理：

Stolz定理的广义结论。（an/bn有没有极限无所谓）

①关于它的证明，史济怀老师的书上其实是用类似思路证明的Stolz定理，所以属于“大材小用”。😆

②之后会再次出现类似形式的不等式：洛必达法则那里；以及验证Cauchy根值判别法比D'Alembert判别法适用范围广。

2.上下极限的第三定义。

分别构造了两个（特殊的）递增、递减的数列。证明思路（以上极限为例）：一方面，递减数列中的每一项≥上极限；另一方面，递减数列当项数充分大时每一项＜上极限+ε。所以，递减数列的极限就是原数列的上极限。

3.由第三定义证明上极限次可加性、下极限超可加性。

然后再推得lim inf (an+bn) ≤ lim inf an + lim sup bn ≤ lim sup (an+bn)

若an或bn有极限，则次可加性、超可加性变为可加性。

4.注意有两个变量时，是否独立，即一个取极限的时候会不会影响另一个。

5.原来这节就已经讲述数列“只保留正项，负项归零”的式子表达了。