【零基础学经济Ep52】查漏补缺——数学基础（复习：同济常微部分）

今天先复习关于二阶线性微分方程的所有内容，下次开始聊一种特殊并且也很重要的常微分方程——常系数齐次线性微分方程。

同济《高等数学》常微分方程部分

二阶线性微分方程——形如d^y/dx^2+P（x）dy/dx+Q（x）y=f（x）的微分方程。

——二阶线性微分方程又分为两种——

齐次方程——f（x）恒为0；

非齐次方程——f（x）不恒为0。

注意：

1. 这里的齐次方程不要和之前的齐次方程混淆，是两个完全不同概念；

2. 方法依然是常数变易法，但是二阶方程涉及到通解个数的问题，所以要先讨论解的结构：即解空间的内容。

涉及四个定理——

其中前两个定理关于二阶齐次线性方程，后两个定理关于二阶非齐次线性方程——

1. 如果函数y1（x）与y2（x）是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=0的两个解，那么y=C1y1（x）+C2y2（x）也是该方程的解，其中C1与C2是任意常数；

2. 如果函数y1（x）与y2（x）是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=0的两个线性无关的特解，那么y=C1y1（x）+C2y2（x）就是该方程的通解，其中C1与C2是任意常数；

3. 设y*（x）是二阶非齐次线性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）的一个特解，Y(x)是该方程对应的齐次方程的通解，那么y=Y（x）+y*（x）是二阶非齐次线性微分方程的通解；

4. 设二阶非齐次线性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）中，f（x）是两个函数之和，即y"+P（x）y'+Q（x）y=f1（x）+f2（x），而y*1（x）与y*2（x）分别是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f1（x）与y"+P（x）y'+Q（x）y=f2（x）的特解，那么y*1（x）+y*2（x）就是原方程的特解——线性微分方程的叠加原理。

这四个定理的证明依次如下——

定理一：如果函数y1（x）与y2（x）是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=0的两个解，那么y*=C1y1（x）+C2y2（x）也是该方程的解，其中C1与C2是任意常数。

证明：已知函数y1（x）与y2（x）是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=0的两个解，即——

y1"+P（x）y1'+Q（x）y1=0；y2"+P（x）y2'+Q（x）y2=0；

由y*=C1y1（x）+C2y2（x），有y*"+P（x）y*'+Q（x）y*=[C1y1（x）+C2y2（x）]"+P（x）[C1y1（x）+C2y2（x）]'+Q（x）[C1y1（x）+C2y2（x）]=C1[y1"+P（x）y1'+Q（x）y1]+C2[y2"+P（x）y2'+Q（x）y2]=0，即y*也是该方程的解，证毕。

定理二：同济书上没给证明我们暂时不聊，之后会在《常微分方程》内容中详谈。

定理三：设y*（x）是二阶非齐次线性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）的一个特解，Y(x)是该方程对应的齐次方程的通解，那么y=Y（x）+y*（x）是二阶非齐次线性微分方程的通解。

证明：将y=Y（x）+y*（x）代入方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）——

[Y（x）+y*（x）]"+P（x）[Y（x）+y*（x）]'+Q（x）[Y（x）+y*（x）]=[y*"+P（x）y*'+Q（x）y*]+[Y"+P（x）Y'+Q（x）Y]=f（x）+0=f（x），即y是非齐次线性方程的解；

又Y作为齐次方程的通解，所以含有两个任意常数，所以y里面也含有两个任意常数，即y为原二阶非齐次线性微分方程的通解。

定理四：设二阶非齐次线性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）中，f（x）是两个函数之和，即y"+P（x）y'+Q（x）y=f1（x）+f2（x），而y*1（x）与y*2（x）分别是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f1（x）与y"+P（x）y'+Q（x）y=f2（x）的特解，那么y*1（x）+y*2（x）就是原方程的特解——线性微分方程的叠加原理。

证明：将y=y*1（x）+y*2（x）代入原方程左端y"+P（x）y'+Q（x）y——

y"+P（x）y'+Q（x）y=[y*1（x）+y*2（x）]"+P（x）[y*1（x）+y*2（x）]'+Q（x）[y*1（x）+y*2（x）]=[y*1（x）"+P（x）y*1（x）'+Q（x）y*1（x）]+[y*2（x）"+P（x）y*2（x）'+Q（x）y*2（x）]=f1（x）+f2（x）=f（x），即y*1（x）+y*2（x）为原方程一个特解。

这就是同济书上，对二阶线性常微分方程的解的结构的四条定理的相关内容。

二阶线性微分方程的解法内容，即，常数变易法——

一阶非齐次线性微分方程的解法：

1. 解出对应一阶齐次线性微分方程的解Cy*（x）；

2. 再令y=u（x）y*（x）；

3. 代入该非齐次线性微分方程中即可消去若干项，得到该方程的解。

二阶非齐次线性微分方程的解法大同小异：

1. 已知对应二阶齐次线性方程的解为Y（x）=C1y1（x）+C2y2（x）；——C1，C2为任意常数；

2. 令y=y1（x）v1（x）+y2（x）v2（x）；

3. 由2，dy/dx=y1'（x）v1（x）+y1（x）v1'（x）+y2'（x）v2（x）+y2（x）v2'（x）；

4. 因为v1（x）和v2（x）的给出只需要使函数y依然满足原二阶非齐次线性微分方程即可，所以，我们可以找到v1（x）和v2（x）使得，y1（x）v1'（x）+y2（x）v2'（x）=0；

5. 那么由3、4，可以得到y'=dy/dx=y1'（x）v1（x）+y2'（x）v2（x）；

6. 由5，y"=y1"（x）v1（x）+y1'（x）v1'（x）+y2"（x）v2（x）+y2'（x）v2'（x）；

7. 把2、5、6中的y、y'、y"代入待求方程d^y/dx^2+P（x）dy/dx+Q（x）y=f（x），即，（y1"v1+y1'v1'+y2"v2+y2'v2'）+P（y1'v1+y2'v2）+Q（y1v1+y2v2）=f；——将所有的（x）都省略掉，因为写起来方便，只要记得里面的字母都是表示关于x的函数即可；

8. 我们将7中式子整理得到，（y1"v1+y1'v1'+y2"v2+y2'v2'）+P（y1'v1+y2'v2）+Q（y1v1+y2v2）=（y1'v1'+y2'v2'）+（y1"v1+Py1'v1+Qy1v1）+（y2"v2+Py2'v2+Qy2v2）=（y1'v1'+y2'v2'）+（y1"+Py1'+Qy1）v1+（y2"+Py2'+Qy2）v2=f；

9. 由1知，8中蓝色式子为0，所以y1'v1'+y2'v2'=f；

10. 联立4、9中的两个方程，得到一个关于v1'和v2'的方程组，接着用Cramer法则解出v1'和v2'；

11. 再用直接求积分得到v1（x）和v2（x），再代入2中方程，即可求出y。

后天再见！