矩阵分解动画讲解，其实也很简单！
方形矩阵谱分解视频笔记
参考视频：
1. 3B1B-线代-基变换、特征值
2. 矩阵分解动画讲解，其实也很简单！_哔哩哔哩_bilibili
1.任何满秩矩阵的一个重要性质 （参考视频1）
任何满秩矩阵M都有重要性质: V^-1*M*V=D，进而两边分别乘可作分解：M=V*D*V^-1。
其中V为矩阵M的特征向量构成的矩阵，D为由各特征向量对应特征值构成的对角阵（特征值可由大到小排列）。
直观理解：
视觉想象这个过程，假设空间中有任意一点（或称一个向量）v，M*v相当于对向量v进行了某种变换（或称运动）。
一个已知条件是V的列向量为M的各特征向量，而特征向量的性质是，该向量对应方向上的向量，在经过M变换后，其方向不变，只是大小被进行了特征值大小的缩放。因此，一个自然的想法是将原来的标准坐标系（如2*2维情况下标准坐标系的基向量分别为［0，1］,［1，0］），转换为新的由特征向量作为基向量所构成的坐标系。这样，在新坐标系下，任意点的坐标都是指代新基向量的线性组合，而新基向量在经过M所表示的变换时，其相当于只进行了缩放，也即在新坐标系下M所表示的变换为一伸缩变换，也即对应的新坐标系下的变换矩阵为对角阵，所以V^-1*M*V=D（这里V表示对新坐标系下的任意向量进行返回到标准坐标系下的变换；M表示进行标准坐标系下的对应变换；V^-1表示将标准坐标系下的坐标表示，变换回新坐标系下的坐标表示）。M=V*D*V^-1 也可理解为先将一个标准坐标系下的坐标转换到新坐标系坐标，然后进行对应的伸缩变换，最后再返回标准坐标。
在进行这样分解后，一个很重要的优点在于大大提高了M矩阵连乘的计算速度，使得M矩阵的连乘（求n次方）求解变得十分容易，因为最主要的运算量简化为了对对角元素n次方求解。
2.对于对称矩阵的特殊重要性质 （参考视频2）
由于对称矩阵的最重要性质是特征向量相互正交（垂直），所以由其特征向量可构成正交矩阵V。而正交矩阵V的一个重要性质是V^T=V^-1，所以对称矩阵的分解S=V*D*V^-1可进一步化简为S=V*D*V^T。由于避免了求逆，其计算量被大大降低。
另一种直观理解（参考视频2）：由于正交矩阵相当于对标准坐标系的简单旋转操作，因此对称矩阵所表示的变换可理解为：“将原标准坐标轴旋转至特征向量对应的方向→按特征值伸缩→反向旋转回到原标准坐标轴位置”。
