浅谈泰勒展开的重要性——从高考数学到数值分析

今年高考数学新课标1卷选择题第7题的曝光率已经非常高了。因为参与比较的三项的大小非常接近、无法精确作图、函数包含无理数无法直接计算，在高中课本的大框架内基本上只能考虑构造函数了。但是由于构造函数求导比较的计算量较大，放在求解倒数第二题选择题上耗时过多，所以B站上有不少博主都在讲解简便计算的方法，其中包括用二级结论放缩、用蕴含高等数学思想的泰勒展开或帕德逼近近似计算等。我自己也写了个动态讲解：用泰勒展开求解2022高考数学新课标1卷第7题。有主张用泰勒的人，自然也就有反对用泰勒的人。反对者的理由无非是“高考就应该用高中范围的知识解决”“出题者考察的目的就是看考生对于构造函数这个技巧掌握得如何”“只有遵照出题者的目的才能选拔出真正的人才”这几点。本文并不会主要从正面反驳这几点，而是旨在展示泰勒公式的一些细节，以及阐述“为什么泰勒公式在许多理工科研究和生产中有非常实用和重要的地位”。

首先要强调的是，泰勒公式并不是对于所有近似计算都能得到很小的误差。所以了解泰勒公式的误差非常有助于理解它的适用范围。泰勒公式：

泰勒公式描述的是：一个函数可以在x=x0处近似表示成包含函数值f(x0)与一系列(包含各阶导数的项)的和。如果包含导数的展开项取到n阶导数，则误差大小是一个O((x-x0)^(n+1))的项。这个符号可以理解为：这一项的大小主要由(x-x0)^(n+1)的大小决定。那么如果函数自变量x的值与展开点x0的值大于等于1，近似效果就会很糟糕，因为(x-x0)是一个≥1的量，所以在取n+1次方后会不变或者更大；反之，当x与x0的距离＜1，则(x-x0)^(n+1)的值就会变得比(x-x0)^(n)小，而比(x-x0)小得多。这就是为什么此时O((x-x0)^(n+1))在近似计算中可以忽略。这就是为什么这道高考题的第一和第三比较项可以使用泰勒公式进行近似计算。

据我所知，在除开理论数学和理论物理的其余理学和工学专业中，不论是科研还是生产，结果往往都是有误差的。也就是说，近似计算是主旋律，而精确证明通常是特殊情况。而高考数学恰好是反过来的，即基本全都要求精确求解，只有可能极少数问题例外。很多问题如果不是涉及到不可精确计算的指数和对数，而是有理数可以直接进行加减乘除，那解题过程将大大简化，因为直接计算得出的结论就能取代繁琐的构造函数证明变化趋势的过程。

以高考为导向的高中数学教学可以引导学生掌握严密的数理逻辑的能力，然而在有限的考试时间内，过于复杂的题目和过大的计算量反而会误导学生高估初等数学的一些技巧的重要性，从而针对高阶技巧部分花费大量的时间，到头来高级和基础内容都没掌握牢，甚至还产生自我怀疑认为自己没有潜力接受好学校的高等教育。相反，在测试中如果能用高级技巧解题，不但能够大量节省时间取得更高的分数树立信心，而且往往这些方法才是后续学习和生产中更流行的。

所以在此，我要向污名化泰勒公式的博主们说：在高考以后的高等教育中，恐怕泰勒才占主流，因为数值分析从入门到高阶有很大一部分都是基于泰勒公式的。以机械工程/生物医学工程为例，从飞机上天到火箭推进，从天气预报到传热预测，再到汽车加油、人体输血，诸多涉及液体和气体流动的工程问题其中一个重要研究方法就是数值模拟，即利用计算机带着可控的误差近似求解方程算得液体/气体流动的状态。数值模拟可以说处处无泰勒而又处处有泰勒。以下是简单的两个例子，利用函数几个相邻点的函数值来近似计算函数在某一点的导数值：

给定一个函数f(x)和自变量区间[a,b]，工程上可以在在这个区间上等距取点观察这些点的函数值。假设相邻点的间距为h，则：f(x0+h)和f(x0-h)分别在x0处做泰勒展开：

1.用f(x0-h)、f(x0)、f(x0+h)表示f'(x0):

也就是说，函数在x0处的一阶导数可以近似由该点右边的函数值f(x0+h)与左边的函数值f(x0-h)还有间距的大小h表示。这种近似造成的误差不大于O(h^2)。记住，h是个小于1的量，所以h^2比1更小。

2.用f(x0-h)、f(x0)、f(x0+h)表示f''(x0):

也就是说，函数在x0处的二阶导数可以近似由该点右边的函数值f(x0+h)、该点的函数值f(x0)、以及左边的函数值f(x0-h)还有间距的大小h表示。这种近似造成的误差不大于O(h^2)。这里同样有h是个小于1的量，所以h^2比1更小。

以上两种方法把连续函数的微分转化为了离散函数的差分。也许有人会问，导函数一般不是可以直接精确计算出来吗，为什么还要大费周章进行差分呢？因为实际在工程上，大概有两方面的原因：1.在计算导函数的时候，有时原函数直接求导过于复杂，用数值方法又快又有很好的精确度；2.以上的差分更多是运用在数值求解微分方程上，也就是原函数本身待求，只知道原函数与原函数的导函数的一些关系，需要反求原函数。就比如牛顿第二定律：

已知F(t)和m求v(t)或s(t)的过程就是解微分方程。如果自由落体运动考虑空气阻力，且空气阻力与速度正相关，则合力为变力，无法用初等数学解出运动方程。微分方程也是少数有求解析解的方法，而绝大多数是无法进行理论求解的，只有用特殊方法近似求解或数值求解。

事实上，自然界中的很多过程都可以描述为微分方程。从物体的运动和变形到化学反应的进度，再从电磁场的作用到材料的破坏，甚至经济、金融的趋势，其中的变量往往都能描述成变量与变化率的关系，因此就能用微分方程建模来求解。所以数值方法比什么构造函数的使用范围要广得多。而从基础到部分高端的数值方法，可谓处处无泰勒而处处有泰勒。这也就是为何我处理这道高考题的时候提笔就是泰勒展开。

最后，我要重申数值计算的应用的广泛性和泰勒展开的重要性。相比于泰勒，构造函数精确求解更多应用在分析学中，而理论数学、应用数学与理论物理必须掌握这一项严密的数学工具。在工程上，至少是机械工程和生物医学工程领域，分析学据我所知没有太多用武之地。在生产实践中往往只关心近似值和误差大小，甚至后者有时都可直接忽略。高考并不是选拔数学与物理专业的考试，而是选拔合格的学生进行进一步高等教育。以理论数学和理论物理专业去要求所有学生对数学的掌握是不合适的，也会漏掉很多本来有能力学成其它专业的人才。我斗胆说一句，普通人根本没有那个天赋去学习理论数学和理论物理，所以普通人到了高等教育阶段应该学会知难而退浅尝辄止，专攻自己擅长的专业。所以请某些视角狭窄的B站老师们，把眼光放远一点，停止污名化泰勒展开等高级工具。同时我要说，构造函数可以高考不用，但不能不会。考场外有充足时间还是应该有能力用它解题的。而考场上做出来就是成功，你管我用什么方法？