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第 一章  函数与极限

第二节 数列的极限

一、数列极限的定义

概念——

• 数列：如果按照某一法则，对每个n∈N+，对应着一个确定的实数xn，这些实数xn按照下标n从小到大排列得到的一个序列x1,x2,x3,...,xn,...就叫做数列，简记为数列{xn}。

• 项：数列中的每一个数叫做数列的项，第n项xn叫做数列的一般项。

• 数列极限：设{xn}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得n>N时，不等式|xn-a|<ε都成立，那么就称常数a是数列{xn}的极限，或者称数列{xn}收敛于a，记为

二、收敛数列的性质

定理：

1. （极限的唯一性）如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一。

2. （收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

3. （收敛数列与其子数列间的关系）如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a。

4. （收敛数列的保号性）如果

    ——且a>0（或a<0），那么存在正整数N>0，当n>N时，都有xn>0（xn<0）。

第三节 函数的极限

一、函数极限的定义

a.自变量趋于有限值时函数的极限

定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记作

b.自变量趋于无穷大时函数的极限

定义：设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在着正数X，使得当x满足不等式|x|>X时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限，记作

二、函数极限的性质

定理：