利用“等面积原理”求解角平分线长度（2023全国甲，16）

2023-06-13 10:08 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2023全国甲，16）在 $%5Cbigtriangleup%20ABC$ 中， $AB%3D2$ ， $%5Cangle%20BAC%3D60%5E%5Ccirc$ ， $BC%3D%5Csqrt%7B6%7D$ ， $D$ 为 $BC$ 上一点， $AD$ 为 $%5Cangle%20BAC$ 的角平分线，则 $AD%3D$ ________.

解：

记 $AC%3Db$ ， $AD%3Dd$ ，

由余弦定理可得：

$%5Cleft(%20%5Csqrt%7B6%7D%20%5Cright)%20%5E2%3Db%5E2%2B2%5E2-2%5Ctimes%202%5Ctimes%20b%5Ctimes%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D$ ，

整理得： $b%5E2-2b-2%3D0$ ，

解得 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bb%3D%5Csqrt%7B3%7D%2B1%7D$ .

因为 $S_%7B%5Cbigtriangleup%20ABD%7D%2BS_%7B%5Cbigtriangleup%20ACD%7D%3DS_%7B%5Cbigtriangleup%20ABC%7D$ ，所以

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%09%26%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%202%5Ccdot%20%5Ccolor%7Bred%7D%7Bd%7D%5Ccdot%20%5Csin%2030%5E%7B%5Ccirc%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%20%5Cleft(%20%5Csqrt%7B3%7D%2B1%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%5Ccolor%7Bred%7D%7Bd%7D%5Ccdot%20%5Csin%2030%5E%7B%5Ccirc%7D%5C%5C%0A%09%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%202%5Ccdot%20%5Cleft(%20%5Csqrt%7B3%7D%2B1%20%5Cright)%20%5Ccdot%20%5Csin%2060%5E%7B%5Ccirc%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$