Scratch与数学的整合22
第22课 数图形
一、课程导入
本节课你将会学到：如何巧妙地解决图形计数问题（包括Scratch程序）？
二、知识储备
以线段、角、正方形、正方体为例，图形计数问题有如下公式：
1.1、（1+小线段的条数）×（小线段的条数÷2）=线段的条数 （小线段的条数为偶数）
1.2 、[1+（小线段的条数+1）] ×[（1+（小线段的条数）÷2]=线段的条数 （小线段的条数为奇数）
2.1、（1+小角的个数）×（小角的个数÷2）=线段的条数 （小角的个数为偶数）
2.2 、[1+（小角的个数+1）] ×[（1+（小角的个数）÷2]=线段的条数 （小角的个数为奇数）
3、{[小正方形的个数×（小正方形的个数+1）]×（2×小正方形的个数+1）}/6=正方形的个数
4、[小正方体的个数×（小正方体的个数+1）/2]²=正方体的个数
上面的公式中，1.1、2.1均为高斯求和公式，3为平方数列求和公式。4为立方和公式。
三、探索新知
1、请问图1中有多少条线段？
图1
分析：这道题不能乱数，还有人认为ABCDEFGH这些点之间有8个间隔，由此得出有8-1=7（条）线段，这样数也是错误的。这道题与间隔一点关系都没有。那我们该怎么数呢？首先要知道AD与DH的倾斜角不同，也就是对他们两个是各自独立的线段，要分开数再相加。首先看AD，AD上有4个端点，那么根据高斯求和公式Sn=[n（a1+an）]/2可知，n，an均为端点个数，a1=1，进而求得AD有[4×（1+4）]/2=10（条）线段。再看AH，DH上有5个端点。[5×（1+5）]/2=7.5，怎么会出现小数呢？奇数不能被2整除，不能用高斯求和公式，看看还有什么其他方法。我把5拆成4+1，这样就变成了[1+（1+4）]×[（1+4）÷2]=15，这回是整数了。那么DH有15条线段。最后可以得到图1中有10+15=25（条）线段。答：图1中有25条线段。
2、请问图2中有多少个正方形？
图2
分析：这道题还是不能乱数，间隔也不要想。正方形属于平面图形，线线成面。∴可以这样思考：大正方形的每条边上都有4条直线，那么图2中有4种不同大小的正方形：1×1、2×2、3×3、4×4。接下来代入平方数列求和公式可求得图2中有{[4×（4+1）]×（2×4+1）}/6=30（个）。答：图2中有30个正方形。
3、已知有一个正方体被切成6×6×6体积均等的小正方体。问：被切后的正方体一共有多少个？
分析：这道题没有给出图，需要靠我们的想象想出这个立体图形的特征是怎样的。首先明确一个最基本的概念：正方体有上下前后左右6个面，每个面的棱长相等。接下来题中又说“正方体被切成6×6×6体积均等的小正方体”，什么是体积均等呢？每个大小都均等吧？那“6×6×6”怎么理解呢？正方体由长宽高构成，那“6×6×6”就是有6层正方体，每层正方体都是6个小棱的正方体。问被切后的小正方体一共有多少个，那答案就是套入立方和公式计算：{[6×（6+1）÷2]}²=441（个）答：被切后的正方体有441个。
四、流程图
由于今天我们研究的三道题完全同属图形计数问题，因此为了保证编程时尽可能多删减脚本，∴我们就看看删减后的脚本对应的代码的流程图吧。
流程图看上去比较繁琐，但如果我们理清了里面的内在联系，进行“合并同类项”，分析起来就会简单得多。首先程序开始，点、线段、角、正方形、正方体是不同的对象，找准的对象不同，计数的过程也就不同，而程序的答案只有一个。∴我们此时要问角色输入哪个图形。回答=1时找准点计数，回答=2时找准线段计数，回答=3角计数，回答=4正方形计数，5是正方体计数。当程序知道了找准哪类图形计数时，人家就问你“××的个数？”。你此时回答的是点的个数的话直接数出来作答；线段或是角要判断n是否为偶数，若判断为“是”则用高斯求和来解，否则套用[1+（n+1）]×[（n+1）÷2]来解；正方形的话用平分数列求和，正方体的用立方和公式。
五、变量信息
图形的种类、点的个数、线段的条数、正方形的个数、小线段的条数、小角的个数、小正方形的个数、小正方体的个数、角的个数
六、代码示例
当绿旗被点击
首先要统一问题。该编程的共同点是全为计数问题，不同点是图形种类不同。那我们把图形计数看成一个集合，图形的种类则是对象。那么要统一的变量就是图形的种类。
询问你要数哪类图形？
将图形的种类设为回答
将1赋值给变量“点的个数”。由于点是独立的，∴点的个数直接询问并回答，再作答。
如果图形的种类=1那么
询问请输入点的个数
将点的个数设为回答
说：“连接连接这个图形有和点的个数和点”
将2赋值给变量“小线段的条数”，由于求线段的条数公式是连续求和。对于配对求和而言会涉及到2的整除特征，∴要用余数积木判断该数是奇数还是偶数，根据情况选用合适的公式计数。
如果图形的种类=2那么
询问被分成多少条线段？
将小线段的条数设为回答
如果小线段的条数÷2的余数=0那么
将线段的条数设为（1+小线段的条数）÷（小线段的条数÷2）
否则
将线段的条数设为[1+（小线段的条数+1）]×[（小线段的条数+1）÷2]
说：“连接连接这个图形有和线段的条数和条”
由于角的计数方法同理于线段的计数方法，∴只要此时把上一组代码复制，再把变量“小线段的条数”改成“小角的个数”，“线段的条数”改成“角的个数”就可以了。
如果图形的种类=3那么
询问被分成多少个小角？
将小角的个数设为回答
如果小角的个数÷2的余数=0那么
将角的个数设为（1+小角的个数）÷（小角的个数÷2）
否则
将小角的个数设为[1+（小角的个数+1）]×[（小角的个数+1）÷2]
说：“连接连接这个图形有和角的个数和角”
将4赋值给小正方形的个数，5赋值给正方体的个数。由于在讲例题时我们直接套公式求了，∴这里我们还套公式求。
如果图形的种类=4那么
询问由多少个小正方形构成
将小正方形的个数设为回答
将正方形的个数设为{小正方形的个数×[小正方形的个数+1]×（2×小正方形的个数+1）}/6
说：“连接连接这个图形有和正方形的个数和个正方形”
如果图形的种类=5那么
询问由多少个小正方体构成
将小正方体的个数设为回答
将正方体的个数设为[小正方体的个数×（小正方体的个数+1）]²
说：“连接连接这个图形有和正方体的个数和个正方体”
