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斜率不就是“竖比横”？（2018课标Ⅱ，12）

2022-12-28 17:26 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2018课标Ⅱ，12）已知 $F_1$ 、 $F_2$ 是椭圆 $C$ ： $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ （ $a%3Eb%3E0$ ）的左、右焦点， $A$ 是 $C$ 的左顶点，点 $P$ 在过 $A$ 且斜率为 $%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B6%7D$ 的直线上， $%5Cbigtriangleup%20PF_1F_2$ 为等腰三角形， $%5Cangle%20F_1F_2P%3D120%5E%5Ccirc%20$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A. $%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20$

B. $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20$

C. $%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D$

D. $%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D$

解：

过 $P$ 作 $PH%5Cbot%20x$ 轴，垂足为 $H$ ，

易知 $%5Cleft%7C%20PF_2%20%5Cright%7C%3D2c$ ，

所以 $%5Cleft%7C%20F_2H%20%5Cright%7C%3Dc$ ，

所以 $%5Cleft%7C%20AH%20%5Cright%7C%3Da%2B2c$ ，

又因为 $%5Cleft%7C%20PH%20%5Cright%7C%3D%5Csqrt%7B3%7Dc$ ，

所以 $%5Cfrac%7B%5Cleft%7C%20PH%20%5Cright%7C%7D%7B%5Cleft%7C%20AH%20%5Cright%7C%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7Dc%7D%7Ba%2B2c%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B6%7D$ ，

解得 $%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D$ .

选D.

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