【数学基础144】常微分方程：史济怀老师视频微分方程相关内容总结（十三）

史济怀老师视频课微分方程部分——

&3.二阶线性微分方程的一般理论

&3.1二阶齐次 线性方程解的结构

定理（基本解组）：设y1，y2是方程y''+p1(x)y'+q1(x)y=0和方程y''+p2(x)y'+q2(x)y=0在（a，b）两个线性无关的解，那么p1(x)=p2(x)，q1(x)=q2(x)。

证明：

step1：证明p1(x)=p2(x)——

1. （反证法）假设存在x0∈(a,b)，p1(x0)≠p2(x0)，则p1(x0)-p2(x0)≠0，则根据连续函数的局部保号性，存在x0∈(α,β)包含于(a,b)，对任意x∈(α,β)，p1(x)-p2(x)≠0；

2. 作差：[y''+p1(x)y'+q1(x)y]-[y''+p2(x)y'+q2(x)y]=[p1(x)-p2(x)]y'+[q1(x)-q2(x)]y=0；

3. 因为p1(x)-p2(x)≠0，则y'+{[q1(x)-q2(x)]/[p1(x)-p2(x)]}y=0；

4. 令p(x)=[q1(x)-q2(x)]/[p1(x)-p2(x)]，y'+p(x)y=0——为一阶线性齐次方程，通解为：

    ——由上得c2y1-c1y2=0，即y1，y2是线性相关的，导出矛盾，故而p1(x)=p2(x)。

step2：证明q1(x)=q2(x)——

1. 作差：[y''+p1(x)y'+q1(x)y]-[y''+p2(x)y'+q2(x)y]=[q1(x)-q2(x)]y=0；

2. 由上式解得：如果y1≡0，y2≡0，与y1，y2是线性无关矛盾，故而q1(x)-q2(x)=0，即q1(x)=q2(x)，证毕。

定理：两个线性无关的函数y1(x)，y2(x)构成某一个二阶线性齐次方程的基本解组的充分必要条件是它们的Wronsky行列式w(x)处处不为0。