道路同伦类 基本群

定义  设f是X中从x0到x1的一条道路，g是X中从x1到x2的一条道路。定义f与g的乘积f*g为道路h，  

              f(2s)，     当s∈【0，1/2】，

h(s) =     

              g(2s-1)， 当 s∈【1/2，1】

映射h的定义是确切的，并且根据黏结引理，h是连续的，因此h是从x0到x2的一条道路。可以把h设想成这样一条道路，前半段是f，后半段是g，

道路同伦类的运算*满足十分类似于群的公理的一些性质，这些性质称为*的广群性质，它与群的性质的仅有的区别是； 对于任意两个道路同伦类[f] 和 [g]，[f]*[g]并不总是有定义的，只有当f(1)=g(0)时，[f]*[g]才有定义。

定理    运算*具有以下性质；

1 结合律  如果[f]*([g]*[h])有定义，则 （[f]*[g]）*[h]也有定义，并且它们相等。

2  有右、左单位元   给定x∈X, 令ex ;  I→X  表示将I变为点x的常值道路。如果f是X中从x0到x1的一条道路，则有

[f]*[ex1]=[f]  和  [ex0]*[f] = [f]

3 有逆元   给定X中从x0到x1的一条道路f，由f^-1(s)=f(1-s)定义的道路f^-1称为f的逆，这时有

[f]*[f^-1]=[ex0]  和  [f^-1]*[f] = [ex1]

空间X中道路的道路同伦类的集合对于运算*而言并不是一个群，因为两个道路同伦类的乘积并不总有定义。但是，如果我们取定X中的点x0作为基点，并且只考虑那些起点和终点都是x0的道路，那么这种道路的道路同伦类的集合对于运算*而言便构成了一个群，这个群称为X的基本群。