群论的构造

2022-05-20 19:03 作者:子瞻Louis 0人读过 | 我要投稿

已收录至文集《代数》

起源

众所周知，群论起源于代数方程的根式解问题。直接来考虑一个代数方程

$a_nx%5En%2Ba_%7Bn-1%7Dx%5E%7Bn-1%7D%2B%5Cdots%2Ba_1x%2Ba_0%3D0$

它有n个根 $x_1%2C%5Cdots%2Cx_n$ ，由韦达定理可以写出：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Blcl%7D%20%20x_1%2B%5Cdots%2Bx_n%3D-%5Cfrac%7Ba_%7Bn-1%7D%7D%7Ba_n%7D%5C%5C%20%20x_1x_2%2Bx_1x_3%2B%5Cdots%2Bx_%7Bn-1%7Dx_n%3D%5Cfrac%7Ba_%7Bn-2%7D%7D%7Ba_n%7D%5C%5C%20%5Cdots%5C%5Cx_1%5Cdots%20x_%7Bn-1%7D%2B%5Cdots%2Bx_%7B2%7D%5Cdots%20x_%7Bn%7D%3D(-1)%5E%7Bn-1%7D%5Cfrac%7Ba_1%7D%7Ba_n%7D%5C%5Cx_1%5Cdots%20x_n%3D(-1)%5En%5Cfrac%7Ba_0%7D%7Ba_n%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

由此我们可以随意将任意一个根在上式中与另几个根互相交换位置，上式总是不会变的。将根交换的操作其实就是双射

$%5Csigma%3A%5C%7Bx_1%2C%5Cdots%2Cx_n%5C%7D%5Clongleftrightarrow%20%5C%7Bx_1%2C%5Cdots%2Cx_n%5C%7D$

像这样的双射通常也叫做置换，将这些根的所有置换组成的集合记为 $X$ ，在这个集合上添加一个二元映射 $(%5Csigma%2C%5Ctau)%5Cmapsto%5Csigma%5Ccirc%5Ctau$ ，不难验证：

$%5Cforall%20%5Csigma%2C%5Ctau%20%5Cin%20X%2C%5Csigma%5Ccirc%5Ctau%5Cin%20X$
$%5Cforall%20%5Csigma%2C%5Ctau%2C%5Cupsilon%20%5Cin%20X%2C(%5Csigma%5Ccirc%5Ctau)%5Ccirc%5Cupsilon%3D%5Csigma%5Ccirc(%5Ctau%5Ccirc%5Cupsilon)$
$%5Cexists%20e%5Cin%20X%2C%5Cforall%20%5Csigma%5Cin%20X%2Ce%5Ccirc%5Csigma%3D%5Csigma%5Ccirc%20e%3D%5Csigma$
$%5Cforall%20%5Csigma%5Cin%20X%2C%5Csigma%5E%7B-1%7D%5Cin%20X$

事实上，我们所列举的这些正是后文将提到的群的定义，当然这些置换令人直觉上认为它和能否用根式求解一个代数方程没有什么关系，但显然Galois并不是这样认为的，它不仅不这样认为，还从这个角度出发解决了代数方程能否用根式求解的问题。

接下来，让我们一步步地将群构造出来

带有运算的集合

从一个非空集合 S 出发，在这上面定义一个二元运算：

$*%3AS%5Ctimes%20S%5Cto%20S$

称这个运算是封闭的，即对任意 $a%2Cb%5Cin%20S%2Ca*b%5Cin%20S$ ，有时也会将运算符号略去。一般将像这样带上一个运算的集合记为 $(S%2C*)$ ，或不引起混淆时直接将它记为 $S$ 。

既然有二元运算，当然还有n元运算，一般将它们统称为运算。带上至少一个运算的非空集合，就可以将它称为代数结构。

下面开始列举 $(S%2C*)$ 的一些初步信息：

若对任意 $x%2Cy%2Cz%5Cin%20S$ ，都有 $x(yz)%3D(xy)z$ ，则称运算 * 满足结合律。
若对任意 $x%2Cy%5Cin%20S$ ，都有 $xy%3Dyx$ ，则称运算 * 满足交换律，或称 $(S%2C*)$ 交换。
若对任意 $x%2Cy%2Cz%5Cin%20S$ ，当 $zx%3Dzy$ 时， $x%3Dy$ ，则称运算 * 满足左消去律，同样也有右消去律。
若对任意 $x%5Cin%20S$ ，某个元素 $e%5Cin%20S$ ，满足 $e*x%3Dx*e%3Dx$ ，则称 $e$ 为 $(S%2C*)$ 的幺元或单位元。
幺元是唯一的：若 $e%2Ce'$ 都是 S 的幺元，则 $e%3De*e'%3De'$
若对 $x%5Cin%20S$ ，存在 $y%5Cin%20S$ ，使得 $xy%3Dyx%3De$ ，则称 $x$ 是可逆的， $y$ 是它的逆元，并记作 $y%3Dx%5E%7B-1%7D$ （在加法中常记作 $-x$ ）。
逆元也是唯一的：若 $x%5E%7B-1%7D%2Cx%5E%7B-1'%7D$ 都是 $x$ 的逆元，则 $x%5E%7B-1%7D%3Dx%5E%7B-1'%7Dxx%5E%7B-1%7D%3Dx%5E%7B-1'%7D$
对 $S$ 的子集 $A%2CB$ ，定义
$AB%3D%5C%7Bab%7Ca%5Cin%20A%2Cb%5Cin%20B%5C%7D%5Csubset%20S$
对独点集 $%5C%7Bx%5C%7D$ ，可直接写成 $Ax%2CxB$ 。

正如加法和乘法中的结合律一样，对于满足结合律的二元运算结构，任意多个元素运算的结果与运算中括号的位置无关，这不难用归纳法证明。

还有一点就是这里的运算并不一定是指加法和乘法，比如：在非零整数集上可定义运算

$*%3A(a%2Cb)%5Cmapsto%20a%5Eb$

显然，它不满足交换律，结合律，消去律中任何一个。

还有一个更“怪”的例子：在一个二元集合 $A%3D%5C%7Ba%2Cb%5C%7D$ 上定义运算：

$%5Cbegin%7Baligned%7Da*b%3Da%2C%5C%5Cb*a%3Db%2C%5C%5Ca*a%3Da%2C%5C%5Cb*b%3Db.%5Cend%7Baligned%7D$

可以验证这是一个满足结合律的运算。

从这两个例子中我们不难得知对任意一个集合都可以定义无限多种运算，但若不加一些限制而直接去考虑这些一般的代数结构难以得出具体、有实际意义的结论，所以抽象代数中所研究的是一些相对来说比较自然的代数结构。

下面开始正式定义群

半群与群

对带上了一个二元运算的代数结构，如果该运算满足结合律，就称该代数结构为半群。

若一个半群中存在幺元，则称之为幺半群。

若幺半群中的所有元素都可逆，则称之为群。

现在将所有构造的条件整理起来就是：

对一个代数结构 $(G%2C%5Ccdot)$ ，称它为群，如果它满足以下条件：

运算 $%5Ccdot$ 满足结合律
$%5Cexists%20e%5Cin%20G%2C%5Cforall%20x%5Cin%20G%2Ce%5Ccdot%20x%3Dx%5Ccdot%20e%3Dx$
$%5Cforall%20x%5Cin%20G%2C%5Cexists%20x%5E%7B-1%7D%5Cin%20G%2Cx%5Ccdot%20x%5E%7B-1%7D%3Dx%5E%7B-1%7D%5Ccdot%20x%3D1$

群 $(G%2C%5Ccdot)$ 作为集合时它的基数 $%7CG%7C$ 称为该群的阶，若它是有限的，则称 G 为有限群，反之则称为无限群。

来看几个例子：

在整数集上定义一般的加法，显然得到的 $(%5Cmathbb%20Z%2C%2B)$ 是一个无限交换群。

在实数集上定义一般的加法， $(%5Cmathbb%20R%2C%2B)$ 是一个交换群，但若将加法换成乘法， $(%5Cmathbb%20R%2C%5Ctimes%20)$ 将只是幺半群。

考虑整数集作为一个集合，它有着一些子集： $2%5Cmathbb%20Z%2C3%5Cmathbb%20Z%2C%5Cdots$ ，并且注意到这些子集对加法依然构成群，由此我们引入：

对幺半群 $(S%2C*)$ ，若 $S'$ 作为集合 $S'%5Csubset%20S$ ，并且 $(S'%2C*)$ 也是幺半群，则称 S' 为 S 的子幺半群。

同样的，也可定义：

对群 $G$ ，若子集 $H%5Csubset%20G$ 带上 $G$ 中的二元运算后是群，则称 $H$ 是 $G$ 的子群，将它记为 $H%5Csubseteq%20%20G$

在集合 $%5C%7B%5Cpm1%5C%7D$ 上定义一般的乘法，则 $(%5C%7B%5Cpm1%5C%7D%2C%5Ctimes%20)$ 是一个有限交换群。其中非幺元满足 $(-1)%5E2%3D(-1)%5Ctimes%20(-1)%3D1$ ，这时我们称元素 -1 在该群上的阶为2，更一般的：

设 $(G%2C%5Ccdot)$ 是群， $x%5Cin%20G$ ，若存在最小的 $m%5Cin%5Cmathbb%20N$ ，使得 $x%5Em%3D1$ ，则称元素 $x%5Cin%20G$ 是有限阶元素，其阶为 m ，记为 $%5Ctext%7Bord%7D(x)%3Dm$ ，若不存在这样的 m ，则称 $x$ 为无限阶元素。

接下来将目光转向两类特殊的群：

（循环群）设 $(G%2C%5Ccdot)$ 是群， $G%5Cni%20x%20%5Cneq1$ ，则 $x%5E%7B-1%7D%5Cin%20G%2Cx%5E2%3Dx%5Ccdot%20x%5Cin%20G$ ，再像这样对该元素不断作运算，我们可以得到 $%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathbb%20Z%2Cx%5En%5Cin%20G$ ，此时我们就已经给出了一个子群：

$%5Clangle%20x%5Crangle%3A%3D%5C%7Bx%5En%7Cn%5Cin%5Cmathbb%20Z%5C%7D%5Csubseteq%20G$

称它为由元素 $x$ 生成的循环群， $x$ 称为该群的生成元。如果 x 的阶有限，则该群的阶有限，且它的阶就等于 x 的阶。

循环群的例子有很多，例如 $(%5C%7B%5Cpm1%5C%7D%2C%5Ctimes%20)$ 正好就给出了一个循环群，其生成元为 -1 。

还有正整数加法群 $(%5Cmathbb%20Z%2C%2B)$ 也是一个循环群，并且其生成元既可以是 1 ，也可以是 -1 ，从这个例子可以看出循环群的生成元并不总是唯一确定的，但我们可以证明对循环群 $G$ 的任意两个生成元 x,y 都有 $%5Cexists%20n%5Cin%5Cmathbb%20Z%2Cy%3Dx%5En$ 。