2023新高考Ⅰ卷数学逐题解析（3）

2023-06-15 13:22 作者:CHN_ZCY 0人读过 | 我要投稿

封面：赤と青

作画：支倉

https://www.pixiv.net/artworks/74471910

11. 已知函数 $f%5Cleft(x%5Cright)$ 的定义域为 $%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BR%7D%7D$ ， $f%5Cleft(xy%5Cright)%3Dy%5E2f%5Cleft(x%5Cright)%2Bx%5E2f%5Cleft(y%5Cright)$ ，则

A. $f%5Cleft(0%5Cright)%3D0$

B. $f%5Cleft(1%5Cright)%3D0$

C. $f%5Cleft(x%5Cright)$ 是偶函数

D. $x%3D0$ 为 $f%5Cleft(x%5Cright)$ 的极小值点

答案 ABC

解析本题考察抽象函数，属于中档题.

A. $f%5Cleft(0%5Cright)%3D0%2B0%3D0$ ，A说法正确.

B. $f%5Cleft(1%5Cright)%20%3D%20f%5Cleft(1%5Cright)%20%2Bf%5Cleft(1%5Cright)%20%3D%202f%5Cleft(1%5Cright)$ ，所以 $f%5Cleft(1%5Cright)%20%3D%200$ ，B说法正确.

C. 对任意 $x%20%5Cneq%200$ ，都有 $f%5Cleft(x%5E2%5Cright)%3D2x%5E2f%5Cleft(x%5Cright)%3D2x%5E2f%5Cleft(-x%5Cright)$ ，即 $f%5Cleft(x%5Cright)%3Df%5Cleft(-x%5Cright)$ .

且 $f%5Cleft(0%5Cright)%3Df%5Cleft(0%5Cright)$ .

所以对任意 $x%20%5Cin%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BR%7D%7D$ ，都有 $f%5Cleft(x%5Cright)%3Df%5Cleft(-x%5Cright)$ . 所以 $f%5Cleft(x%5Cright)$ 是偶函数，C说法正确.

C说法正确.

D. 取 $f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%0A0%2Cx%3D0%5C%5C%0Aax%5E2%5Cln%7B%5Cvert%20x%20%5Cvert%7D%2Cx%5Cneq0%0A%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.$ ，则 $f%5Cleft(x%5Cright)$ 符合本题条件，且 $x%3D0$ 不是 $f%5Cleft(x%5Cright)$ 的极小值点，故D说法不正确.

故选：ABC.

Remark. D选项中构造函数的依据是，由题目条件可得：

对任意 $x%20%5Cneq%200$ ， $y%20%5Cneq%200$ ，都有 $%5Cfrac%20%7Bf%5Cleft(xy%5Cright)%7D%20%7Bx%5E2y%5E2%7D%3D%5Cfrac%20%7Bf%5Cleft(x%5Cright)%7D%20%7Bx%5E2%7D%20%2B%5Cfrac%20%7Bf%5Cleft(y%5Cright)%7D%20%7By%5E2%7D$ .

实际上，若要使 $f%5Cleft(x%5Cright)$ 在非零实数范围上连续，则符合条件的 $f%5Cleft(x%5Cright)$ 有且仅有 $f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D%0A0%2Cx%3D0%5C%5C%0Aax%5E2%5Cln%7B%5Cvert%20x%20%5Cvert%7D%2Cx%5Cneq0%0A%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.$ .

12. 下列物体中，能被整体放入棱长为 $1$ （单位： $%5Cmathrm%7Bm%7D$ ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）

内的有

A. 直径为 $0.99%5Cmathrm%7Bm%7D$ 的球体

B. 所有棱长均为 $1.4%5Cmathrm%7Bm%7D$ 的四面体

C. 底面直径为 $0.01%5Cmathrm%7Bm%7D$ ，高为 $1.8%5Cmathrm%7Bm%7D$ 的圆柱体

D. 底面直径为 $1.2%5Crm%7Bm%7D$ ，高为 $0.01%5Cmathrm%7Bm%7D$ 的圆柱体

答案 ABD

解析本题考察空间几何体的位置关系，属于难题.

A. 该正方体的内切球直径为 $1%5Cmathrm%7Bm%7D%3E0.99%5Cmathrm%7Bm%7D$ ，因此直径为 $0.99%5Cmathrm%7Bm%7D$ 的球体能被整体放入该正方体容器中.

B. 该正方体的内接正四面体的边长为 $%5Csqrt%7B2%7D%5Cmathrm%7Bm%7D%3E1.4%5Cmathrm%7Bm%7D$ ，因此所有棱长均为 $1.4%5Cmathrm%7Bm%7D$ 的四面体能被整体放入该正方体容器中.

C. 该正方体及其内部的任意两点间最大距离为其体对角线的长度，其为 $%5Csqrt%7B3%7D%5Cmathrm%7Bm%7D%3C1.8%5Cmathrm%7Bm%7D$ ，因此底面直径为 $0.01%5Cmathrm%7Bm%7D$ ，高为 $1.8%5Cmathrm%7Bm%7D$ 的圆柱体不能被整体放入该正方体容器中.

D. 记该正方体为正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ ，设 $AB$ ， $BC$ ， $CC_1$ ， $C_1D_1$ ， $D_1A_1$ ， $A_1A$ 的中点分别为 $R_1$ ， $R_2$ ， $R_3$ ， $R_4$ ， $R_5$ ， $R_6$ ，则六边形 $R_1R_2R_3R_4R_5R_6$ 是边长为 $%5Cfrac%20%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%20%7B2%7D%20%5Cmathrm%7Bm%7D$ 的正六边形，其内切圆半径为 $%5Cfrac%20%7B%5Csqrt%7B6%7D%7D%20%7B4%7D%3E0.6%5Cmathrm%7Bm%7D$ .

以该内切圆圆心 $P$ ，在六边形平面上作一个半径为 $0.6%5Cmathrm%7Bm%7D$ 的圆 $P$ .

设 $H$ 为 $A_1B_1$ 的中点，连结 $R_1H$ ， $R_4H$ ，且连结 $R_1R_4$ 交圆 $P$ 于点 $M$ ， $N$ （ $M$ 靠近 $R_1$ ）.

过点 $N$ 作 $NI%20%5Cbot%20R_1R_4$ 交 $R_4H$ 于点 $H$ .

$R_4N%3D%5Cleft(%5Cfrac%20%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%20%7B2%7D%20-%200.6%5Cright)%5Cmathrm%7Bm%7D$ ， $NH%3D%5Cfrac%20%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%20%7B2%7DR_4N%3D%5Cleft(%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B2%7D%20-%20%5Cfrac%20%7B3%5Csqrt%7B2%7D%7D%20%7B10%7D%20%5Cright)%5Cmathrm%7Bm%7D$ .