【数学基础21】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 收敛数列{an}极限为a，则an=a+ɑn，其中{ɑn}为一个无穷小；

2. 收敛数列必有界；

3. 有限个无穷小的和还是无穷小；

4. 有界数列乘以无穷小的积还是无穷小；

5. 设lim an=a，则lim（a1+a2+……+an）/n=a；

6. 设lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a；

7. 设lim（a1+a2+……+an）=A，lim（a1+2a2+……+nan）/n=0；

8. 设lim（a1+a2+……+an）=A，lim（n！a1*a2*……*an）^（1/n）=0.

9. 三角形ABC面积公式：S=|ABxAC|/2=|BAxBC|/2=|CAxCB|/2；

10. 向量向量积运算律——

    a.反交换律：axb=-（bxa）

    b.（关于数）结合律：k（axb）=（ka）xb=ax（kb）

    c.右分配律：（a+b）xc=axc+bxc

    d.左分配律：cx（a+b）=cxa+cxb

11. 矩阵乘法运算律——

    a.结合律：（AB）C=A（BC）

    b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

    c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

    d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A

    e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

    f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。

12. 矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。

13. 矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；

14. 设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

参考资料：

1. 《数学分析习题演练》（周民强 编著）

2. 《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）

3. 《高等代数习题集》（杨子胥 编）

数学分析——

例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——

若{an}满足lim（an-an-2）=0，试证明：足lim（an-an-1）/n=0.

证：

1. 令bn=an+an-1，则lim（bn-bn-1）=lim（an-an-2）=0，令lim（an+an-1）/n=lim bn/n=0；

2. 令cn=（-1）^n*an，则lim（c2k-c2k-2）=lim（a2k-a2k-2）=0，lim（c2k+1-c2k-1）=-lim（a2k+1-a2k-1）=0；

3. 由2：lim（cn-cn-2）=0，由1：lim（cn+cn-1）/n=0；

4. 则lim（c2k+c2k-2）/n=lim（a2k+a2k-2）/（2k）=0，lim（c2k+1+c2k-1）=-lim（a2k+1+a2k-1）/（2k+1）=0，即lim（an-an-1）/n=0.

解析几何——

例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——

设G为三角形ABC的重心，求证：G将三角形ABC分成三个面积相等的三角形，即S三角形GAB=S三角形GBC=S三角形GCA.

证：设D，E，F分别为BC，CA，AB中点——

1. S三角形GAB

   =|BGxBA|/2

   =|（2BE/3）xBA|/2

   =|2（BA+AC/2）/3xBA|/2

   =|BAxBA+ACxBA/2|/3

   =|ACxBA|/6

   =S三角形ABC/3，证毕。

先到这里！