【数学基础142】常微分方程：史济怀老师视频微分方程相关内容总结（十一）

史济怀老师视频课微分方程部分——

&3.二阶线性微分方程的一般理论

&3.1二阶齐次 线性方程解的结构

定理：设y1，y2是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0在（a，b）两个解，那么y1，y2在（a，b）上线性无关的充分必要条件是：w(x)在（a，b）上处处不为0。

证明：

（充分性）——140已证。

（必要性）——

1. 反证法：已知y1，y2在（a，b）上线性无关，若存在x0∈（a，b），使得w(x0)=0，即行列式y1(x0)y2(x0)'-y2(x0)y1(x0)'=0；

2. 由克莱姆法则可知，对关于c1，c2齐次方程组：

1. y1(x0)c1+y2(x0)c2=0

2. y1(x0)'c1+y2(x0)'c2=0

存在不全为0的解c1，c2；

3. 令Y(x)=y1(x0)c1+y2(x0)c2，则Y(x)也是y''+p(x)y'+q(x)y=0的解，又y(x)=0也满足上述方程组构成的初值条件Y(x)=0，Y(x)'=0，由初值条件下解的唯一性，得Y(x)=0；

4. 由3：存在不全为0的解c1，c2，使得y1(x0)c1+y2(x0)c2=0，于是y1，y2在（a，b）上线性相关，与假设矛盾，故而w(x)在（a，b）上处处不为0。

定理：方程y''+p(x)y'+q(x)y=0必有两个线性无关的解。

证明：略（需要用到同构映射的知识，后面复习代数的时候再补。）

 定理：设y1，y2是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的两个线性无关的解，那么方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的通解为y=c1y1(x)+c2y2(x)。

证明：

1. 要证，任意给出方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的解Y(x)，存在唯一的解c1，c2，使得非零解Y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)，即存在x0，对关于c1，c2齐次方程组：

1. y1(x0)c1+y2(x0)c2=Y(x0)

2. y1(x0)'c1+y2(x0)'c2=Y(x0)'

存在不全为0的解c1，c2；


2. 因为y1，y2是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的两个线性无关的解，所以行列式w(x0)=y1(x0)y2(x0)'-y2(x0)y1(x0)'不为0；

3. 由克莱姆法则，方程组存在不全为0的唯一解c1，c2；

4. 再令Y1(x)=c1y1(x)+c2y2(x)，显然Y1(x)也满足初值条件Y1(x)=Y(x)，Y1(x)'=Y(x)'，由初值条件下解的唯一性可知：任意给出方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的解Y(x)，存在唯一的解c1，c2，使得非零解Y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)。