很水的数学分析(从头开始05:数学归纳原理)

总结：

1.在定义Peano公理时，第4条提到了(第一)数学归纳原理，但有些情况下，仅有k∈M的假设时无法推出k+1∈M，常常需要更多的条件。

因此第二数学归纳原理扩充了数学归纳原理的条件，它由数学归纳原理推出。具体表述见笔记。

2.良序性是指全序集存在最小元素。任意自然数集的子集也都是良序集。

由于数学归纳法的本质是首先需要找集合中的最小元素，因此数学归纳法的应用场景被扩大，凡是涉及有关 自然数集的子集 的命题都可以使用数学归纳法。

2.数学归纳原理、第二数学归纳原理、良序定理相互等价。

良序定理之所以可以推出(第一)数学归纳法，是由于集合中存在最小元素。自然数集的任意非空子集都有最小元素。

第二数学归纳法看似扩展了条件范围，但它们本质上没有发生改变。