从数论不定方程学代数几何的路线
从学以致用，用到数论上的各个里程碑的角度来学代数几何。
第一个里程碑：给出二次不定方程的解。一次二次的不定方程最难的也就是佩尔方程了。谈不上代数几何。但是再加一个变元，例如要给出勾股数的话，开始用到了给出x^2+y^2=z^2的有理参数解。用加减换元会发现它是XY=z^2,在代数几何里面说的是最简单的一类有理奇异点，ADE奇点。一般的二次型f(x,y,z)=0求解的话有换元方法（华罗庚数论导引），这里最多也就一个射影簇的内涵。需要学习射影簇代数曲线和奇异点解消。
第二个里程碑：三次不定方程。用到了椭圆函数来参数化---那就不再是有理参数化，因为本身一般不是有理簇。非退化的三次曲线亏格为1.十个系数的三次型f(x,y,z)=0都可以换元成为椭圆曲线，而且可以只有一个不定系数。而且这种换元是双有理的。开始要学习双有理变换，亏格1模空间。椭圆曲线的方程X^3+aX+b=y^2(不是只有一个不定系数的吗，因为这不是最简形，最简形只有一个不变量j)的整点怎么求出来？结论是，一般存在无数多个整点。
数学人不能满足于无数个这种抽象的提法，硬是建立椭圆曲线群结构，将其分成了有限类整点。此处也涉及了特征p的代数几何开始了。
此时代数几何主分支已经无能为力。要细分到密码学区块链等等了--其中的tate对weil对大量的内涵。最难的地方通向了BSD。那我们就往别处卷了。
第三个里程碑：四次不定方程。可以在莫比乌斯变换下变到三次方程。没人给你讲？是因为椭圆曲线的书看的太少。
第四个里程碑：五次方程。这个时候我们不说五次方程了。说n次方程。因为对应代数曲线亏格不小于2的情况了，这个时候被代数几何断言只存在有限个整点解。德林列的工作。细化的工作上，有人用代数曲面的纤维化研究五次六次，因为归结为亏格=2的纤维化分类。仍有发表市场。但是被日本nariwa等人做出了完成的分类，有上百种。所以后续的七次八次亏格为3，再更高次，分类的情况繁多成千上万，不会再认为是好的数学成果。
然而仍然有牛成果存在，就是riemann-hurwitz分歧除子公式。这里涉及到了代数曲面的覆盖了。
从而对z^n=f(x,y)型及其双有理变种得到了一定的打击。
结束了吗？没有，因为z^n=f(x,y)变元只有3个。射影化之后也只有4个。万一变元再增加？无穷无尽了，高斯面对怎么不去终结费马大定理让其他数学家有更好的精力转移的质问时，他答到，这种方程我随便都能给个几百个，这样卷有意义吗？
那我们接下来该怎么前进呢？-----克莱因埃尔朗根纲领告诉我们要研究不变量。但是这里面是非线性方程啊，都不是用矩阵变换简化系数空间（模空间）呀，换元都是用有理的代数式子换元（包括麦比乌斯变换）。这种变换顶多涉及双有理不变量，顶多也就与奇异点解消相关。再怎么做呢？
接下来黎曼-罗赫定理和层论的概念引入。首先，麦比乌斯变换+整式换元+各类分式换元=<倒数变换，整式变换>生成。倒数变换从何而来？难道不是全部都是整式代换吗？人们发现倒数变换，再不同的开集来看，也是一个整式。层论的开集的粘贴这么来了。
黎曼罗赫认为，换元法的极限不就是去掉一些多项式的系数吗？那么可以去掉多少个呢？应该提前可以预知，根据一些函数相关性，会发现无效代换，和正真有效的代换，黎曼罗赫给出了系数空间的维数。模空间（或者参量空间-李克正提法）。
至此，f(x,y,z,w)=0的方程结束。
更多参数呢，五个变元时呢，第一个本质有意义的结论---米尔诺怪球出现。
还有f(x,y,z,w)=0如果不能有理参数化，可以被什么参数化？此时椭圆函数的推广超几何级数有点用了。黎曼符号又出来了。与常微也有联系了。一些变态的常微，研究的方法是极限环和叶状结构，又有了双有理等价的方法在里面。做双有理分类又做动一点。
多个变元的化，也应该有覆盖现象产生，z^n=f(x,y，...)可是变元都这么多了，如果还都是实变元的化，是不是可以整合为复变元，使变元个数缩小呢？原来有实代数几何和复代数几何的分别，怎么之前没有提到？
复代数簇性质更好。但研究起来举步维艰，双有理等价分类？好不容易用小平维数界定了一下，分出了一般型曲面和特殊曲面。竟然越来越不好研究了。那就推广2-fold的结论到3-fold吧。有总比没有强。
还有那就研究其中最特殊的方程吧，什么是最特殊的？calabi-yau？那就研究对称型最强的对象吧！对称型能有多强呢？有人来估计对称性的上界，自同构群的大小。总之后续有的是隔靴搔痒的了。
后来干脆不从这么具体的方程形式研究了。既然研究的工具是同调之类的。那就专门研究同调。
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然而返璞归真，对具体的椭圆曲线的研究却得到了一些成果又启发过来了，推动了费马大定理的解决。伽罗瓦表示，就是那有限类整点的表示，和纤维化的稳定性方面的工作，都有丰富的成果。所以百花齐放的局面呈现啦。
有人觉得复代数簇限制在特征p上更好。搞不上可以用计算机程序枚举处结果。
还有张益唐这种被莫说为不讲武德，不从上面这么精细的思路慢慢走了，摒弃了雅可比猜想这种双有理等价的技巧，用多复变里面的一些不等式技巧，直接判断一些数论的结果的了。
