为什么连杆可以画出所有曲线
1.什么是连杆系统
（连杆系统）都是由一些刚性的小杆，在端点处，以转轴的方式相连而成。
固定一个连杆系统中某些杆的端点，旋转特定的连杆，系统中其余的动点便可以产生特定的目标轨迹。
最简单的连杆系统：
固定杆OA中的一个端点O，则A的轨迹是一个以O为圆心的圆
一些简单的装置也可以画出极其复杂的图形
2.如何用连杆系统画直线
帕塞利埃连杆（Peaucellier-Lipkin Linkage）
发明者：Charles Nicolas Peaucellier
AD=AC，BCED为菱形，AO=OB，EG⊥AF
为什么直线？
只需证明AG为定值，便可以说明E在过G垂直于AF的直线上运动
证：∵AD=AC, BD=BC, ED=EC
∴A, B, E三点共线
∵⊙O中AF为直径
∴∠ABF=90°
∵EG⊥AF
∴∠G=90°=∠ABF
∵∠A=∠A
∴△ABF∽△AGE
∴AG/AB = AE/AF
∴AG = AB·AE/AF
#AF为定值，只需证明AB·AE为定值
∵AB=AH-BH, AE=AH+BH
∴AB·AE=AH²-BH²
∵BCED为菱形
∴DC⊥BE
∴AH²=AC²-CH², BH²=BC²-CH²
∴AB·AE=AC²-BC²（之后会用到这个结论）
∵AC, BC为定值
∴AB·AE为定值
∴AG为定值
3.连杆系统几乎万能
连杆系统可以画出所有符合以下要求的代数曲线：
3.1.构造坐标系
OAXB, OCYD为两个全等的筝形，△OAC, △OBD为等腰直角三角形。
这样，Y始终在X关于O逆时针旋转90°的位置上
为什么？
已知：OAXB, OCYD为两个全等的筝形，△OAC, △OBD为等腰直角三角形。
求证：OX⊥OY, OX=OY
证：连接OX, OY
∵OAXB≌OCYD
∴OD=OB, DY=BX, ∠ODY=∠OBX
∴△ODY≌△OBX（SAS）
∴∠1=∠2, OX=OY
∵△DOB为直角三角形
∴∠DOB=90°
∴∠XOY=∠DOB-∠1+∠2=90°
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把X连接在Peaucellier连杆上，X, Y就会分别在两条相垂直的直线上运动
之后会省略Peaucellier连杆。
3.2.如何画出任意曲线
我们将OX, OY的长度定义为自变量 t
为画出任意曲线，连杆需要且只需要实现4条功能：
1、把某个点的坐标加上一个常数c；
2、把某个点的坐标乘上一个常数c；
3、把两个点的坐标相加；
4、把两个点的坐标相乘。
为了实现这些功能，我们设计了以下7个装置：
3.2.1.常量加法器
固定一段连杆（AB为定值），用两个平行四边形（橙色）把固定长度（AB）传递到坐标轴上（XD）
两个被加数：OX、AB
和：OD
常量加法器支持矢量运算。
3.2.2.固定器
利用三角形的稳定性，使杆与杆（图中为蓝杆和绿杆）之间的位置关系保持不变
3.2.3.常量乘法器
由两个固定器组成
AP=BC, AB=CP
∴ABCP为平行四边形
∴AP//BZ, CP//OB
∴△OAP∽△OBZ
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两个被乘数：AP、OB/OA
积：OZ
常量乘法器支持矢量运算
3.2.4.加法器
加法器非常重要，它不仅要加减法，还要将X, Y轴的坐标算成最终的结果
四个小四边形都是平行四边形，
所以OAFB也是平行四边形
证：连接OA, AF, FB, BO
∵▱ADEH
∴AH//DE, AH=DE
同理DE//OC
∴AH//OC, AH=OC
同理FH//BC, FH=BC
#下一行中我少写了很多步骤
∴∠AHF=∠OCB
∴△AHF≌OCB（SAS）
∴AF=OB
同理AO=BF
∴AOBF为平行四边形
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两个被加数：向量OA、向量OB
和：向量OF
3.2.5.减法器
减法器也是一个加法器，但比较特殊。
两个被加数：向量BO、向量BA
和：向量BF
3.2.6.倒数器
DAEB为菱形，OA²-AD²=1
这时候，我们需要用到我们之前在Peaucellier连杆中的结论。
我们曾经说到AB·AE=AC²-BC²，所以在这里，我们只需要确认OA²-AD²=1，就可保证OD·OB=1
OD、OB互为倒数
3.2.7.乘法器
乘法公式：p·q=((p+q)² - (p-q)²) /4
所以要乘法，我们要学会平方
我们知道：1/(p-1) - 1/(p+1) = 2/(p²-1)
变换得：p² = 2 / (1 /(p-1) - 1 /(p+1)) +1
所以我们只需要用在倒数器基础上，再进行一堆操作，就可以实现乘法了。
具体过程作者懒得说，那我就更懒得说了（
最后不能展示乘法器，因为渲染不完
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把上述的7个装置巧妙地结合起来，就几乎可以画出任何图像了。
end
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后记：这应该是我写得最久的一次笔记了，好累……
