45分钟线性代数通俗讲解

线性代数的本质

线性：均匀分布的意思，线性就是对加法有意义

线性函数：如果输入一组均匀排列的值，输出的值也是均匀排列的，那这个函数就是线性的

例如：y = kx + b

如果输入值可以是任意维度的数值，那么就是线性代数要研究的东西了

单位向量：1

空间中的所有向量都是靠拉伸单位向量来获得的，即 拉伸比例 * 单位向量

输入空间中的向量【3】在输出空间应该是什么向量？

• 从输入空间来看：输出的应该是向量6
• 从输出空间来看，仍然是向量3

因为输出空间相当于将输入空间拉伸了两倍，即输出空间的基向量也是输入空间基向量的两倍，所以所谓的向量6和基向量之间的关系根本就没有改变

这种关系是不能改变的，因为改变了就不是线性了。换句话就是，空间中的所有向量，在变换前后与基向量之间的关系保持不变，这就是线性变换。所以我们只需要关注基向量的变换即可。

三种拉伸

对单个向量的随意拉伸，即 a*向量，称为这个向量的线性组合

张成空间：向量的所有可能的线性组合

0向量的张成空间还是0

线性变换前：网格在各自的维度上相互平行且等距分布

线性变换：让这些网格始终保持相互平行且等距分布

向量加法，就是线性的数学表示

函数只需要表达清楚 基向量怎么变换，那就知道所有向量怎么变了

把线性变换后的空间的维数叫做秩，也称作该线性变换的秩

例子1：

例子2：

例子3：

多次线性变换的复合表示

矩阵变换始终是对基向量做变换

逆矩阵

行列式：空间的挤压程度

特征值：在线性变换中没有旋转的向量，只被拉伸了。