将“点关系”转化为“斜率关系”（2023全国乙圆锥曲线）

2023-06-09 08:49 作者:数学老顽童 0人读过 | 我要投稿

（2023全国乙，20）已知曲线 $C$ 的方程为 $%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1$ （ $%20a%3Eb%3E0%20$ ），离心率为 $%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B3%7D$ ，曲线 $C$ 过点 $A%5Cleft(%20-2%2C0%20%5Cright)%20$ .

（1）求 $C$ 的方程；

（2）过点 $%5Cleft(%20-2%2C3%20%5Cright)%20$ 的直线交曲线 $C$ 于 $P$ 、 $Q$ 两点，直线 $AP$ 、 $AQ$ 与 $y$ 轴交于 $M$ 、 $N$ 两点，证明：线段 $MN$ 的中点是定点.

解：（1）由题可知 $%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B3%7D$ ，即 $%5Cfrac%7Bc%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B9%7D$ ，

即 $%5Cfrac%7Ba%5E2-b%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B9%7D$ ，

又易知 $b%3D2$ ，

故 $a%3D3$ ，

故 $C$ 的方程为 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B9%7D%2B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%3D1%7D$ .

（2）

设过 $%5Cleft(%20-2%2C3%20%5Cright)%20$ 的直线 $l$ 的方程为

$m%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%2Bny%3D1$ ，

因其过 $%5Cleft(%20-2%2C3%20%5Cright)%20$ ，故有

$m%5Cleft(%20-2%2B2%20%5Cright)%20%2Bn%5Ccdot%203%3D1$ ，

解得 $n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D$ ，

故 $l$ 的方程为 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bm%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dy%3D1%7D$ .

$C$ 的方程可变形为

$%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B9%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%5E2-4x-4%7D%7B4%7D%3D1$ ，

即 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B9%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B4%7D-%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%3D0%7D$ ，

与 $l$ 联立得

$%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B9%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B4%7D-%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cleft%5B%20m%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dy%20%5Cright%5D%7D%20%3D0$

展开

$%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B9%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B4%7D-m%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%5E2-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20y%3D0$

并项

$%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B9%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20y%2B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D-m%20%5Cright)%20%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%5E2%3D0$

各项同除以 $%5Cleft(%20x%2B2%20%5Cright)%20%5E2$ ，得

$%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D%5Cleft(%20%5Cfrac%7By%7D%7Bx%2B2%7D%20%5Cright)%20%5E2-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7By%7D%7Bx%2B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D-m%3D0%7D$