2023浙江大学强基数学逐题解析（8）

封面：《明日酱的水手服》

22. 三条直线两两平行，与间的距离为1，与间的距离为，与间的距离为，是上的两个定点且，是上的两个动点且；三角形的外心记为点，点到的距离为，求的最小值.

答案  .

解析

由于

所以在同一平面上，且在之间.

过点作于点.

不妨设与同向.

以为原点，为轴正方向，为轴正方向，建立平面直角坐标系.

设，则.

设，得

即

所以在抛物线上.

记，则

当且仅当在线段上（含端点），即

也即时取等.

所以的最小值为.

23. 今年是浙江大学建校126周年，将一个边长为126的正六边形划分成一系列边与正六边形的边平行且边长为1的正三角形，我们设这些正三角形的顶点所能构成的正六边形的数量为，求在十进制下的末位数字.

答案  1.

解析  

设将一个边长为的正六边形（记作“大正六边形”）划分成一系列边与正六边形的边平行且边长为1的正三角形后，这些正三角形的顶点所能构成的正六边形（记作“格点正六边形”）的数量为.

若某正六边形满足：

对其任意的边，都存在大正六边形的某条边，与平行或重合.

则记其符合性质.

若某符合性质的正六边形的边长为，则记其符合性质.

那么，符合性质的格点正六边形的个数为

符合性质的格点正六边形的内接格点正六边形（包括其本身）的个数为.

可以证明，不符合性质的格点正六边形，必然内接于唯一的符合性质的格点正六边形.

记所有格点正六边形构成的集合为，所有符合性质的格点正六边形的内接格点正六边形（包括它们本身）构成的集合为.

则

且对任意的，有

所以

因此

所以在十进制下的末位数字为1.