理工乐理基础（上）
反正逸民也看不懂，然而我就是当云笔记的，管你们小学生看不看得懂了
好像还不能用
算了不管了背景：受@发烫的K神大佬所托，本渣表示要做乐器白的不能再白的小白娱乐向教程：
【ak日常】小白教程:没有基础也要用吉他弹曲子！(附调音扒谱方法)
之后，大佬说需要补充乐理知识，所以简单的整理一些乐理知识，其中最后的理工科乐理个人认为行文异常舒适，非常适合我等学习
由于时间原因，对于内容并没有进行仔细观看校对，因此一旦出现问题还请多包涵
不服你出来打我啊，我自己写的教程反正我能保证内容准确
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技术类工作十余年，思维方式愈发趋于纯理性动物：万物有定义、有果必求因、凡事靠推理，诚然这样的方法论太过缺乏人文情怀。不光自己，身边的大批科学家、工程师也深受纯粹理性的毒害。加之在匪帮的体制下从小到大都没有接受过正式的音乐教育，导致绝大多同学根本不懂音乐，也不会欣赏音乐，实乃人生一大憾事。
我们要完成自我救赎，基本的方法就是学习一些基本的人文知识。在音乐方面我们最好能学习一门乐器，有一定经济基础的同学最好能买一架钢琴，这不仅可以使我们苦逼的人生变得更多滋有趣，还可以活动你僵硬的肩膀、颈椎和手腕。吉他也是很好的乐器，便于携带，容易上手，没事还可以弹唱一曲来吸引妹子。就算实在没有音乐细胞，在街上听到古典音乐时和妹子谈一谈它的调式与调性，那逼格直接爆表不是？此外，立志从事计算机辅助作曲、编曲和调音行业的码农也未必真的懂得音乐，而基本的音乐知识却成为了巨大的绊脚石。
音乐不可不学！
请欣赏：李斯特降A大调《爱之梦》
要学音乐，就得先学乐理。乐理就是音乐的理论，由很多非常精妙的物理、数学和逻辑原理构成的。然而乐理书籍皆非理工科人所写，在我等看来实在是定义不明，论述不清。本系列文章将尝试使用公理化的方式来描述，尽可能对每一个概念和方法都追根溯源，相信各位理工科朋友看过后就会像喝到了妈妈做的母鸡汤一般温馨（呵呵）。
乐理的基本内容包括：和声、调式、节奏、结构、曲式。这些内容相互联系交织，单独研究其中任何一部分都不可能。为了给理工科人找一个突破口，本文将从音乐的基本物理原理开始，逐步展开各种概念。我们拒绝以未知解释未知。
图1 晦涩难懂的通用乐理教材
一、基本概念
音乐是由声音构成的艺术，而声音是一个宽泛的概念，泛指人耳可以感知的声波。声波是一种机械波，由物体（声源）振动，带动空气振动，从而形成声波。声波在一段时间内波峰的个数称为它的频率，标准计量单位为Hz（赫兹），即一秒内波峰的个数。声波振幅的大小体现了声音的强弱，也就是音量的大小。声音以某种规律进行频率和强弱的变化就形成了音乐，我们要研究的就是这“某种某律”。然而在所有乐理书上都没有给出“音”的定义，可是围绕“音”展开的各种概念却是名目繁多，令人眼花缭乱。为了理性化思考得以继续，我在这里斗胆给出音的定义，若您有高见还望不吝赐教。
音：可被人类的听觉所感知的一段时间内的声波。通常我们可以用一段声波的波形来表示一个音。
音源：能够产生音的设备/装置/器官等，比如乐器、声带等。
音源的整体或某个部分振动产生声波并持续一段时间（哪怕很短），空气就会将这一段声波传导至人耳。比如：大喊一声，敲一下水管，爆炸，婴儿哭闹等等。的确，音的定义非常宽泛，但乐理仅研究与音乐相关的音。那么音乐又是什么呢？音乐是艺术范畴的名词，无法给出严格的定义。如果非要用理工科的思维方式来理解，那只能这样说：
音乐，就是由一个或多个音在相同或不同的时间内被产生，相互叠加所形成的一段声波。
噪音和音乐的区别是因人而异的，老奶奶认为是噪音的摇滚乐在小年青耳朵里就是兴奋剂，而科学追求的是放之四海皆准的真理，因此这个定义也显得不那么严谨，似乎也没办法做出更好的定义了。现在还出现了一些另类音乐，比如噪声音乐和无声音乐，在我眼里这TM就是瞎扯淡，咱不去管它。
为了简化研究对象，后文中提到的音都特指由传统乐器作为音源发出的音。
约翰凯奇的无声音乐《4分33秒》
二、音的复合
最普通最基本的声波就是简谐振动（维基百科）所产生的正弦波了。传统乐器一般都依靠简谐振动发声，比如琴弦、簧片、鼓面等的振动，因此发出的也是正弦波。一个纯粹的正弦波听起来是什么样的呢？请欣赏220hz正弦波的声音：
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d1/220_Hz_sine_wave.ogg
可是为什么这与我们平时听到音乐完全不同呢？这就要提到纯音与复合音的概念了。
以某个固定频率进行简谐振动所产生的声波称为纯音，比如音叉的声音或刚才听到的220hz正弦波。但世界上并不存在绝对的纯音，就像世上没有绝对的化学单质一样。只有由电声设备发出的纯音可以看作非常近似的纯音，座机电话拿起听筒听到的声音就是近似的纯音。与纯音相对的就是复合音，它由多个纯音组合而成。而音乐就是由大量不同的复合音构成的。
复合音的产生方式有无穷多种，但有两种在音乐中最为常见：一种称为谐波叠加，一种称为拍音叠加。
三、谐波
我们将一个标准的正弦波作为基准，称作基波。谐波就是比基波的频率高整数倍的波（维基百科），钢琴按下一个键或小提琴拉响一根弦都会在基波的基础上产生多个谐波，音乐人往往将谐波称为“泛音”。例如某个纯音声波的频率是f，将此纯音作为基波，其谐波的频率可为2f、3f、4f、……，这些谐波分别称为二次谐波、三次谐波、四次谐波等。如图2所示。
图2 基波与谐波的关系
图2中最上面的是基波，从第二行往下分别是一次谐波、二次谐波等等。若一个复合音由基波与及其谐波相叠加构成，则称该复合音为谐波叠加，它的频率为基波频率。基波与谐波叠加构成复合音的过程见图3所示。
图3 基波与谐波复合构成复合音
实际上，所有传统乐器所发出的音都是复合音，由振幅最大的基波和一些列振幅较小的谐波叠加构成。那么我们就可以给出单音的定义了：单音特指单一乐器演奏独立的一个音发出的声波（谐波叠加），其基波的频率称为音高。不同乐器的单音所叠加的谐波在频率和振幅上都不相同，因此乐器的音色千差万别。小提琴的单音就是典型的一种谐波叠加，下载收听，声音对应的波型为：
图4 小提琴单音的波型
由纯音叠加形成小提琴声音的过程，下载收听。由于每种乐器都有其特别的构造，因此合成一个单音的各个谐波的振幅之比也因乐器而不同。此外，乐器本身的共振所产生的音也混杂于其中，因此不同乐器奏出相同的音高，音色却具有巨大差别，可以让我们轻易分辨。
四、拍音
拍音是另一种复合音，它是由来自同一种乐器或不同乐器的两个单音相互叠加，形成具有规律性强弱变化的振动。与谐波不同的是，拍音一般要求这两个音的振幅相近，但不要求频率为倍数关系。
由于单音本身就由纯音叠加而来，再将单音相互叠加，情况将会变得非常复杂。因此为方便描述，下文将以纯音的叠加来解释拍音的形成。图5中黄色、红色和蓝色的波型分别为频率200Hz，250Hz和300Hz的纯音。黄色与蓝色两纯音叠加形成绿色的拍音波形，黄红蓝三纯音叠加形成黑色的拍音波型。
图5 拍音的形成过程
分析可知，每当两个单音的波峰相遇就形成拍音的波峰，波谷相遇就形成拍音的波谷，这样的复合音从波型看起来存在周期性的振幅变化，像节拍一般，因此称为拍音。拍音的频率与叠加的两个单音的周期（频率的倒数）的比值相关，如果两个单音的频率都是整数，那么拍音的频率就等于它们周期最小公倍数的倒数。
频率相差一倍的两个单音叠加形成的拍音，其频率等于较低的音的频率，这样的拍音听起来就像一个音。例如钢琴上的任意两个Do音之间的频率都相差一倍，点击这里有一架在线钢琴，t键是中央Do，s键是高音Do，同时按下就形成了上述拍音。
如果两个单音中至少有一个是无理数，那么拍音的情况就要复杂一些了。此时两个单音的波峰永远不会相遇，波谷亦然，只会出现非常接近的情况。如果两个波的波峰以一个近似的周期s相互靠得很近，那么不太精确的人耳就会“认为”这两个单音的叠加形成了频率为1/s的拍音。这里面的原理确实比较复杂，我们举例子来说明。比如单音a的频率fa=3–√fa=3，单音b的频率为fb=5–√fb=5，它们的周期分别为sa=1/fasa=1/fa和sb=1/fbsb=1/fb，它们的波形如图6所示。
图6 频率为3–√3的波形（橙）与频率为5–√5的波形
无论是看起来还是理论分析，这两个波的波峰永远不可能相遇。下面我们把这两个波进行叠加，便得到图7所示波形。
图7 两个波叠加形成的波形
两波叠加后形成了周期近似为4×sa≈3×sb4×sa≈3×sb的拍音。这是因为3–√/5–√≈0.77463/5≈0.7746，接近于0.75，也就是3:4。因此这个拍音的“听感频率”大约为5–√/45/4到3–√/33/3之间。（以上图表及其数据均在Excel中用公式生成，同学们可以自行实验）。
五、总结
总结一下，正如谐波一节所介绍的，无论是钢琴的中央Do还是高音Do，每个单音都是由多个谐波叠加而成，而多个单音的叠加又形成了拍音。来自不同乐器的单音和拍音相互交织形成和声，最终一系列的和声构成了美妙的音乐。实际上这段话有描述不严谨的地方，但由于目前朋友们的基础知识还不够，因此可先这样理解，相关的知识在后面的课程中会逐一介绍。
好了，这一讲先到这里，下一讲我们开始乐理的正题：《十二平均律和五线谱》。
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在第一讲中我们已经提到了纯八度（中央do和高音do），想必朋友们已经用耳朵有了感性的认识，并知道纯八度的拍音是由频率比为1:2的两个单音构成。物理和数学的原因决定了纯八度的两个单音的频率比例，但这远远不足以构成音乐的，接下来我们就要学习如何在这两个单音之间产生更多的单音。在展开这些知识之前，本着理工科追本溯源的精神，我们先了解一下乐理是如何发展起来的，然后再谈理论。
一、乐理发展史 · 之一
人类的三大类乐器类别：弦乐，管乐和打击乐有其分别的来源，但音律系统则基本上是从音调变化最丰富的弦乐上发展起来的。弦乐就是利用琴弦的振动发出声音，琴弦振动部分的长短、粗细、质量、密度等因素综合决定了它振动的频率。一般来讲两根同质琴弦的长度比等于它们所发出声音频率的反比，这成为了制定音律标准的最佳性质。
小提琴琴弦的振动（慢镜头）
要使不同的音组合在一起形成音乐，必须定出这些音的相对音高，并将悦耳动听的音进行组合；此外还要定出绝对音高，使同一首音乐到哪里演奏都有相同的效果。因此早期的人们以一根固定长度的琴弦为准，将其作为标准音高，然后用各种不同的比例切分这根琴弦，从而得到了多种不同的音高。这些音律的具体制定过程我们留到后文再行说明。
为了便于记录和表达这些音高，人们发展出了表示相对音高的十二平均律系统和表示绝对音高的五线谱系统。这些音律系统历经上千年的变革与改进，并随着数学水平的发展不断提高而趋于稳定，最终形成如今庞大而复杂的理论体系。后文的相关内容也是围绕相对音高和绝对音高两大系统展开的。
目前世界上最通用的音律体系——十二平均律的历史非常悠久，最早可以追溯到公元400年左右的中国人何承天。公元16世纪的明朝人的朱载堉（朱元璋的九世孙）将十二平均律发展为完整的理论水平，到16世纪末，由当时教皇国的传教士利玛窦将十二平均律法从中国带回西方，直到17世纪才开始在欧洲大陆广泛流传。中国人发明了十二平均律，但中国文明自清朝开始的衰落，使得中国古典音乐的理论水平与西方音乐的差距越来越大，直到没落于下里巴人。
图1 明代朱载堉的《乐律全书》中对十二平均律的记载
当西方有了十二平均律这一黄金律法，新的和声理论、自然调式（念“Diao Shi”，不念Debug）和各种相关调性也就随之产生了，而这些系统则几乎全是由西方发展出来的。我们目前听到的所有古典音乐和现代音乐（包括流行、摇滚、歌舞剧）都是基于西方的音乐理论。
西方古典音乐（维基百科）可以说发源于文艺复兴时期（1400年到1600年），在文艺复兴时期结束时，音乐艺术已经有了长足的发展。人们获得了改进的和新发明的各种乐器， 比如新式的小提琴、羽管键琴（也叫大键琴，是钢琴的前身）、双簧管（尚未从萧姆管中完全脱胎）等等。还得到了新的演奏和作曲技法，比如更复杂的和声技巧，对位法技巧等等。当然，还有最重要的东西：五线谱。在文艺复兴时期之后的巴洛克时期，这些新玩意帮助音乐家们进一步的挖掘音乐理论层面的东西，现代乐理就是在这一时期逐步发展完善的。
图2 一台巴洛克时期的羽管键琴
西方音乐长期以来都是为教会服务的，西方宗教也非常重视音乐艺术的发展。音乐课是教会学校的主要课程，很多音乐理论也都来自于教会音乐家。当时的调式系统称作“古教会调式体系”，一共有12种，现在只有少数仍在使用，包括对应自然大调的“伊奥尼亚”调式和对应自然小调的“爱奥尼亚”调式。关于调式与调性的知识，会在后面的内容中做进一步介绍。
历史课就暂时上到这里，下面我们开始分别介绍十二平均律和五线谱。
二、十二平均律
十二平均律（维基百科）是音乐中最底层的系统，规定了两个单音的相对音高，就像计算机中的二进制系统规定了各种运算方式一样。简单来讲，十二平均律体系将一个“纯八度”（暂不理会为什么叫做“纯八度”）分成12份，每份称为1个半音，两份为1个全音，以此定出所有中间的单音。现在我们有了好几个需要定义的名词，下面将是一大堆严谨的数学定义，但是作为理工科人的我们还怕这些吗？
为了表示相对音高，首先要给出音程的概念：音程就是两个音之间的频率差距，用音数来衡量。频率不同则音不同，而从数学上讲频率是连续的，因此音也是连续不可数的。但是十二平均律系统规定了离散的音的产生方法，这样我们就可以“数出”音程了。
上节课我们已经学到频率比为1:2的两个单音之间的音程被定义为“纯八度”，例如某个单音的频率为f，那么它与频率为2f的另一个单音之间就构成了一个“纯八度”音程。按照十二平均律系统，我们可以以f为基准音，在区间[f,2f]内得到13个不同的单音，它们的频率分别为：f×2112f×2112，f×2212f×2212，…，f×21112f×21112，f可以视为f×2012f×2012，2f可以视为f×21212f×21212。如果将f设定为440Hz，从f到2f这13个单音的频率就可以用前述公式算出，把它们画在坐标系中如图3所示。
图3 440Hz到880Hz的“纯八度”音程中的13个单音
注意每两个相邻的单音之间是等比关系，比例是2–√12212，因此它们所构成的是一条指数曲线。根据上述方法，给定任意基准频率f，我们都可以在区间[f,2f]中构造出13个单音。十二平均律系统规定任两个相邻的音之间的音数为0.5，那么给定两个音的音程为t（即两音之间相隔的音的数量*0.5）和较低的一个音的频率为fafa，我们就可以算得较高那个音的频率fbfb：fb=fa×22t/12=fa×2t/6fb=fa×22t/12=fa×2t/6。13个单音之间不同的音程一共只有12种，人们给它们都起了名字：
相差音数0.511.522.533.544.555.56
音程名称小二度大二度小三度大三度纯四度三全音纯五度小六度大六度小七度大七度纯八度
我把这些音程名称都标记为红色，就是为了提醒大家：整个乐理中有半数以上的内容都和音程相关，因此必须记住这些音程名称和对应的相差音数，否则后面的内容无法开展。
为了方便描述，我们将音数为1的音程称为全音，将音数为0.5的音程称为半音。由此可知：小二度到大二度是1个半音，小三度到纯四度是1个全音，纯五度到纯八度是2个全音加1个半音，等等。实际上，每一个音程还有其它的名称，这叫做“异名同音”。例如小三度又称为增二度，大六度又称为减七度等等，有兴趣可参见维基百科：音程。音数更多的音程也是存在的，但一般很少用到。
上面所述的相关概念都是关于相对音高系统的，也就是说十二平均率规定了音与音之间的频率比例。接下来要讲解内容就和绝对音高相关了，我们将使用一种新的语言来描述，那就是五线谱。
三、五线谱入门
五线谱是一种音乐语言，可以用来记录几乎任何形式的音乐。五线谱中记录的最主要的东西就是音符，一个音符表达一个单音，每一个音符都具有绝对的音高。也就是说五线谱上的同一个音符在不同乐器上演奏出来的音高是相同的（忽略调校的差异）。
图4 《北京欢迎你》（部分）
图4所示为一个简单五线谱，五根线从低到高分别称作第一线、第二线、第三线、第四线和第五线。五根线中间的四个区间分别称为第一间、第二间、第三间和第四间。这些“线”和“间”都对应不同的音高。从理工科观点来看，一条五线谱是一个二维直角坐标系，从下到上是频率轴，从左到右是时间轴。
图4最左边的符号是高音谱号，现在常用的谱号只有四种：高音谱号、中音谱号、次中音谱号和低音谱号，这里先介绍最常用的高音谱号。高音谱号代表该五线谱是一个高音谱，即确定了标记在线和间上的音符的音高。高音谱号中间的那个圈的圆心表示一个称作G的音的位置，而高音谱号本身也是由大写字母G演化而来的。历史上还出现过位置更靠下的高音谱号，不过现在已经不再使用了。
图5 常用的四种谱号
再看图4所示的乐谱，高音谱号的右边有一个b，这叫做降号，它画在第三线上表示该谱的调性是F大调。降号的右侧有两个数字：2和4，它们表示节拍，即以四分音符为1拍，每小节2拍。乐谱的中间和末尾处有两条切断五条线的竖线，这是小节标记，两条竖线之间是一个小节（高音谱号视为第一个小节的开始）。小节和节拍都是和节奏相关的东西，先混个眼熟即可。
线上和线间的音符标记是由一个黑豆、一条短竖线和连在短竖线一端的波浪线构成，见图6所示。
图6 音符的画法
黑豆称为符头，短竖线称为符杆，波浪线称为符尾，符头和符尾分别画在符杆的上下两端。可以符头在上符尾在下，也可以反过来，这是由符头在五线谱中的高低位置决定的。如果符头位置较高，就应画在符杆下方。应当注意的是还有一种音符没有符尾；还有一种音符连符杆都没有，用圆圈表示符头；一些音符的符尾还可能连在一起，形成一条粗横线，这些都和音符的时长有关，我们现在只关心符头的高低位置，也就是音符的音高。
五线谱中的每个音符都有一个名称，即音名。音名一共有7个，每个音名又对应一个唱名，它们分别是：
音名ABCDEFG
唱名LaSiDoReMiFaSo
唱名是由一位意大利音乐理论家桂多·达莱佐从一首拉丁语圣歌的歌词中抽取出来的。而音名则是由后来的英国人嫌拉丁唱名太麻烦，就用英语字母代替了。但过去无论是过去还是今天，A都是基准音（与主音概念不同，注意区别），ABCDEFG这样7个音连在一起形成的音阶称为“小调音阶”，不过后来大调比小调更为普及，便趋向于使用“大调音阶”（CDEFGAB）的主音C作为一个纯八度音程的开始。显然，人们使用的全部音符数远多于7个，因此唱名及其音名是循环使用的。五线谱中的所有音符的音名如图7所示。
图7 五线谱表达的所有音符
如果音符过高或过低，在五条线中画不下了，还可以在五根线的上面或着下面加线，这些线叫做“下加X线”和“上加X线”，X可以是“一”、“二”、“三”……。比如图7最低的音B就画在“下加五线”上。
图8 五线谱的表示范围
注意相邻的同名音符之间的音程是八度……等等，八度？难不成是第一节课讲的……？嗯，说对了，第三间的C比下加一线的C的频率的确高了一倍！再高一倍我们还可以得到上加二线的C。从图7的谱号可知这是一个高音谱，人们规定高音谱中第二间的La，也就是图中上面一排倒数第三个音符A，频率是440Hz。以A为基准，其它音符的频率就可以用十二平均律系统从中音A推算出来了，这就是基准音A的概念。然而此时我们还没有学习五线谱中各音符之间的相对音高，这一部分内容留到下一讲。
格里格《培尔金特》选段
上面这个五线谱就要复杂得多了。高音谱号的后面有4个#，这是升调号，对应的调性是E大调。节拍是6/8拍，即以八分音符为1拍，每小节6拍。下面的P为强弱标记，表示演奏的力度（音量大小），而音符上面的弧线则是延音记号，与演奏技法相关。最后有一个特殊符号，称为休止符。五线谱里的名词还有很多，就像我们计算机语言中的语法是非常丰富的。更进一步的内容下一讲再说。
四、总结
这一讲我们学习了两种音律系统，一种是定义单音之间相对音高的十二平均律，另一种则是定义了单音的绝对音高的五线谱系统。这里面确实有很多数理逻辑的东西，具有一定的难度，要想理解透彻还需要仔细阅读和思考。感到困难了吗？请坚持下去
关键字：成人学乐理 乐理基础 乐理入门
上一讲我们学习了表示音符相对音高的十二平均律系统和表示绝对音高的五线谱系统，这一讲将对我们已经学到的这些知识做进一步展开，并对和声理论做简单的介绍。和上一讲一样，我们先从历史开始讲起。
一、乐理发展史 · 之二
人们很早就发现长度比为1:2的两根弦同时拨响可以发出非常协调的声音，但仅仅使用2倍关系的弦长所构造出来的音过于单调了，可以说根本不足以形成音乐，因此人们就尝试用其它的弦长比来发声。一根固定在平面上的弦如果从中间任意位置按在平面上，就形成了左右两段成不同长度比且可以分开振动的弦，人们就是用这种方法尝试不同的弦长比的。
图1 弦长的分割（左手按下，右手拨动）
我们把原弦长所发出的频率记为f。用手指按在弦的正中间，即1/2处，形成的两段弦长是相等的，它们发出的声音频率都为2f，这样纯八度音程就形成了。接下来人们尝试在纯八度音程的中间找到其它的音，首先按在弦长的1/3处，在较长的那一段人们听到了一个新的音，它的频率是3f/2，听起来与f非常协调。信心满满的人们接下来又尝试按在弦长的1/4处，但较长那一段的音听起来虽没有前一个音程那么协调，但也挺不错，它的频率是4f/3。用同样的方法人们又得到5f/4、6f/5、7f/6……然而，人们很快就遇到了麻烦：首先，新得到的音的频率与f的叠加变得越来越不协调（其原因将在下文“和声”部分详细说明）；其次，新产生的音与前一个产生的音之间也不存在任何协调关系，这样下去是不可能产生悦耳动听的音乐的。人们只能另辟蹊径。
图2 三种最简单的分割
不过这时人们已经获得了3种最简单也最重要的弦长比，分别是1:2、2:3和3:4，它们来自于3个不同的分割点。为了获得新的频率，又要与f或之前已产生的频率保持协调，那么能否以这3种分割点为基础，从较长的那一段再以同样的比例继续细分呢？当然是可行的，因为协调性可以传递！1/2即是原弦长的一半，再将其细分为1/2就得到原弦长的1/4，协调性没问题，但这仍然是纯八度音程，没有出现新的音程。而从2/3处再细分情况就大不相同了，2/3再细分2/3，就得到了与原弦长比为4:9的长度。9f/4是一个全新的频率，显然它与3f/2的协调程度和3f/2与f的协调程度是相同的。再从4/9中分割出2/3，得到频率27f/8……一直用(2/3)n(2/3)n切分下去就得到了如下的频率序列：
n频率倍率
13f/21.5
29f/42.25
327/83.375
481f/165.0625
5243f/327.59375
上表中的“倍率”是指其频率除以f的值。然而这样找音存在一个问题，那就是后面产生的音已经超过以f开始的一个纯八度音程了。我们把这5个音和4f/3一并标记在数轴上，如图3所示。
图3 7个音所隶属的八度音程
看以看出，这6个音（黑x表示）分别隶属于3个不同的纯八度音程（红x表示）。4f/3和3f/2隶属于[f, 2f]，9f/4和27f/8隶属于[2f, 4f]，81f/16和243f/32隶属于[4f, 8f]。既然我们要确定的只是一个纯八度音程中的相对位置，那最简单的办法就将这6个音的频率都除以所在纯八度的最低频率。这样得到的新的6个倍率，从小到大排列<1.125 1.265625 1.333 1.5 1.6875 1.8984375>。f自身的倍率为1，2f为2，把这8个倍率一起画在二维坐标系中，见图4所示。
图4 7音阶折线（蓝色）与理想指数曲线（橙色）对比
挺奇妙的不是吗？与理想的指数曲线相比误差并不大。这不仅意味着音和音之间存在协调关系，而且按这样的倍率关系，从任意置开始的连续7个音都能形成一条听起来相当不错的音阶。这就是7音阶的来历。这种方法由f产生的第1个音是3f/2，除4f/3之外的其它因都是由3f/2产生，而f到3f/2是纯五度关系，因此这个方法被人们称为“五度相生律”，世界历史上多个民族都独立发明出五度相生律，但一般认为最早是由古希腊哲学家毕达哥拉斯提出的。
然而，随着音乐水平的不断发展，这7个音慢慢变得不够用了，而且相邻两个音之间的频率比并不统一，跟不上乐器音准的提高速度。因此后来人们又发明出了十二平均律系统，直到现在7音与12音并存的局面。篇幅关系，12音阶的来历我们放在下一次历史课上讲解。下面的内容我们会学到关于五线谱的新知识，并以此为基础了解到为什么有的音程听起来协调，而有的不协调，这些都是和声理论要研究的内容。
二、五线谱进阶
1. 五线谱中的相对音程
上一讲我们已经知道了高音五线谱中，第二间的A的音高定为440Hz，那么我们如何来确定其它音的音高呢？下面将会按照十二平均律的法则在五线谱中建立相对音高系统，请看图5。
图5 放大的没有任何升降标记的高音谱
上图是一个放大的最简单的高音谱，可以看到第一线上的音名是E，第一间的音名是F，其它以此类推。右侧的“全”和“半”表示相邻两个音符之间的音程是全音还是半音。至于为什么是这样规定的，我们会在下一讲《调式与调性理论》中进一步展开。确定了音符之间的相对音程，并确定了一个基准音高A，我们就可以开始推算所有其它单音的频率了。
首先为了方便的表示众多音符，下文将使用科学记音法（见维基百科）来表示所有的音符，即两个字符表示一个音：XN。其中X为音名，可以是{C, D, E, F, G, A, B}中的任意一个；N为该音的序号，从0开始由低到高编号。N每增加1，音的频率就翻倍，并规定第C4位于高音五线谱的下加一线。根据科学音调记号法，高音谱下加一线上的C记作C4，往高依次是D4，E4，F4……往低依次是B3，A3，G3……。所有的C音在五线谱上标记如图6所示。
图6 五线谱上所有C音的音符
比A4低纯八度的音符是A3，其频率为A4频率的一半，即220Hz，比A4高纯八度的音符是A5，频率为A4频率的二倍，即880。A0到A7间所有A音的频率见下表：
基准音名A0A1A2A3A4A5A6A7
频率(Hz)27.55511022044088017603520
要计算其它音符XN的频率fXfX，则应以XN下方的第一个A音AN'的频率fAfA作为基准，然后算出XN与AN'之间的音数t，那么XN的频率为：fX=fA×22t12=fA×2t6fX=fA×22t12=fA×2t6。例如，由于第三间的C音（即C5）与其下方第一个A音，即A4之间的音程是小三度，音数t=1.5，因此C5的频率为：440×21.56≈523.25113Hz440×21.56≈523.25113Hz。当然，也可通过纯八度音程的倍率关系计算，比如C4的频率为C5的1/2，约为261.62557Hz。
