伊朗引理及其证明

伊朗引理

背景：

在IMO中，伊朗选手特别喜欢证明这个引理，故被称为伊朗引理。

题干：

在▲ABC中，I是内心，EF是切点，连接并延长EF与BI的延长线交于D，M,N分别为BC和AC的中点，证明：∠BDC=90°，DNM三点共线。

 

解答：

证明：∵∠AFI=90°且AI平分∠BAC

∴∠AIF=90°-1/2∠A

连接CI

显然，∠BIC=90°+1/2∠A

∴∠DIC=90°-1/2∠A=∠AIF

∴IFCD四点共圆

∵∠BFC=90°

∴α=∠BFC=90°

连接DM

∵DM=BM

∠DBM=∠BDM

则∠BMD=∠DBM+∠BDM=2∠DBM=∠ABC

∴AB∥MD

∴N在MD上

证毕