MIMO检测中 Zero Forcing 算法比 ML 差的思考

(录制的视频在：

1） https://www.bilibili.com/video/BV1aL411S7ez/

2）https://www.bilibili.com/video/BV1TV4y1Q7yw/ )

MIMO 检测中， maximum likelihood (ML)  是最优的检测，其数学表达式为：

 表示星座图的集合.  Y 是接收到的数据.



而 zero forcing (ZF) 是基于下面这个思想：

公式 (2) 与公式 (1) 的区别在于对  X  的限制，公式 (1) 中的 X 要在调制的 constellation 星座图的点中选择，而公式 (2) 没有这个限制，可以自由选择，显然公式 (2) 的解会偏离公式 (1) 的解。



公式 (2) 的解，再用 maximum likelihood 方式进行解调：

由公式 (2) 得到的最优解为(当 H 是方阵且可逆)：

将 (4) 代入 (3) 有：

这里假定 H 是方阵且可逆的，则 H 的逆矩阵也可以做 SVD 分解：

则公式 5 中的：

我们把  看成一个向量，则矩阵  U 因为是单位正交矩阵，所以，是一个刚性旋转，不改变被作用的向量的长度，因此 公式 (7) 可以继续推导为：

公式 (8) 中，我们把  Y- HX  看成一个向量，记为 Z，则   是对这个向量 Z 做旋转，不改变向量长度，旋转后的向量记为 ， 则  矩阵，是对向量各个分量进行缩放：

情况一： 所有特征值都相等

当  时，公式 (8) 可以写成：

因为  是单位正交的矩阵，因此，是一个刚性旋转，不改变后面向量的长度，因此公式 (9) 可以写成：

这种情况下， Zero Forcing 算法就与 Maximum Likelihood 算法的性能一致。



情况二：噪声非常小，趋近于 0

那么公式 (8) 中，一定能找到一个 X 向量，使得  Y - HX 为 0 向量，因为是 0 向量，所以，这个就是最小值，不可能找到另外一个向量 X' ，使得  (8) 的结果比 0 小。所以，在噪声为 0 的情况下，Zero Forcing 算法就与 Maximum Likelihood 算法的性能一致。



情况三：特征值不全都相等，也含有噪声



则公式 (8) 可以写成：


公式 （11） 中第一个等号那里，相当于对向量  Y-HX 先做旋转，然后再在各个维度上做缩放，例如都是都是逆时针旋转一个固定角度，两个维度分别是放大三倍和缩小一倍（以二维向量为例子，方便画图理解），则不同的向量，即使长度相同，但是角度不同，经过旋转和缩放后，长度将会不同.



下图蓝色是初始向量，旋转  后变成绿色向量，然后经过 X 轴放大 三倍， Y 轴缩小 1/2 ，变成右边紫色向量。

用相同的旋转和缩放，对下图蓝色初始向量进行操作，得到右边紫色向量。

从上面两个实例可以看出，旋转缩放前，第一个图的原始向量要比第二个图的原始向量要短，但是做了同样的旋转缩放后，第一个图的结果向量反而比第二个图的结果向量要长，可见，旋转缩放后，会改变向量长度的大小关系，进而影响 Zero Forcing 算法达不到 Maximum Likelihood 算法的效果，即可能找到的不是最优解。



现在我们来对比一下公式 (1) 和公式 (5) 中的第二行，为了讨论方便，我都列在这里：

这两个公式看起来很像，都是在 X 的所有可能取值中进行遍历，找对应向量长度的最小值，但是，从几何意义上，这两者有本质性的区别，我们接下来分析一下，并且能看出来  Zero Forcing 算法为什么比 Maximum Likelihood 算法的性能要差了。

我们以 H 矩阵是方阵且可逆的， H 做 SVD 分解为：

其中 U ,V 都是单位正交矩阵，在几何上就是对向量做旋转，而  是对角矩阵，对角线上的元素是其特征值。



公式 (12) 的含义是，发送的某个特定数据，经过 H 矩阵作用，然后加高斯噪声，得到的结果是 Y，然后遍历所有 X 的可能取值，对每个取值同样做 H 矩阵的作用，然后与收到的 Y 比较，最近的那个就是最佳估计。



公式 (13) 的含义，是收到的数据 Y  (发送的某个特定数据，经过 H 矩阵作用，然后加高斯噪声，得到的结果是 Y,  Y = HX + W) 通过 H 的反作用回到发送时的情况，然后再与 X 的各种取值进行比较。那么这个反作用的时候，是把噪声 W 也反作用了。本来噪声在各个天线上（体现在空间中的各个维度上），是同性分布的，即相同的概率分布，但是经过 H 的反作用后，噪声就会有的被放大，有的被缩小，导致各个维度上的概率分布是不同的。



我们以 2x2 MIMO 为例子，用 BPSK 调制，那么每根天线上发送的要么是 +1, 要么是 -1，则两根天线上发的数据就有四种组合，我们把在某个时刻两个天线上发送的数据看成一个向量，则这个向量是二维的，那么我们就可以在二维空间上来理解.



那么，我们发送的向量，在二维空间中，只有四个向量，分别在四个象限的中间点上，以 横坐标为第一个维度，纵坐标为第二个维度，则四个向量在二维空间中的坐标分别为 [+1,+1],  [-1,+1], [-1, -1], [+1, -1]. 如下图所示，以先旋转一个角度，再横坐标放大为原来的 3 倍，纵坐标缩小为原来的 1/2， 然后再做已给旋转。我们来看公式 (12)  和 (13) 对应的效果。

旋转拉伸之后的

原始噪声的分布

反变换之后的噪声分布

下图是仿真结果，用 4x4 的 MIMO.